最大的奇约数

一直很习惯用java，但渐渐发现大神们都在用C++/C,在ACM中AC列表中的时间显著地体现了C++/C的速度优势。但今天恍然大悟，语言 doesn't matter, 算法 doesn‘t  matter ,这些都是工具，数学才是最令人敬畏的。

看似复杂的问题背后，苛刻的复杂度要求下，若能看破数字的奥秘，规律的实质，一切问题将迎刃而解。

举个例子来讲，今天遇到了一道网易笔试题——最大奇约数

小易是一个数论爱好者，并且对于一个数的奇数约数十分感兴趣。一天小易遇到这样一个问题： 定义函数f(x)为x最大的奇数约数，x为正整数。 例如:f(44) = 11.
现在给出一个N，需要求出 f(1) + f(2) + f(3).......f(N)
例如： N = 7 
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 1 + 1 + 3 + 1 + 5 + 3 + 7 = 21

小易计算这个问题遇到了困难，需要你来设计一个算法帮助他。

先放上代码，我们再来解释。

import java.util.Scanner;public class Main{public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);long n =  sc.nextLong();long sum = 0;for(long i =n;i>0;i/=2){long temp = (i+1)/2;sum+= temp*temp;}System.out.println(sum);}}

我们不难发现，奇数的最大奇约数就是它自身。关键在于偶数。对于偶数我们怎么处理呢？我们要用此偶数除以2，商若为奇数，那么我们得到了它的最大奇约数，若商为偶数，那么继续除以2，一直到商为奇数为止。

用一组数字来说明，当N为10 时，我们得到原始数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 现在 i= 10；

将 1 3 5 7 9 挑出来， 我们还剩 2 4 6 8 10这5个偶数

现在 i = 5;

那么我们得到 1 2 3 45  ，这里面的 1 3 5 恰是 剩下的元素中 1 6 10 的最大奇约数。我们还剩24 这2个偶数

现在 i = 2;

对于偶数我们继续除以2  得到 1 2 ，这里面的1 恰是 剩下的元素中 2 的最大奇约数，我们还剩下 2这 1一个偶数

现在  i = 1;

对于偶数我们依旧除以2 得到1  好了，现在我们得到的序列没有偶数了，这个1 就是剩下的元素中 2 的最大奇约数。就可以到此结束了。（这里可以看到，8先是除以42得到4，但4是偶数，于是4再除以2得到 2，但2是偶数，所以2再继续除以2，得到1 ，到了奇数才结束）

现在我们总览全局，每一步我们都会挑出序列中的奇数来，那么挑出来的奇数必然是最后所有奇约数中的，既然要求所有的奇约数的和，那么我们为何不把每次挑出来的奇约数的和先求出来呢？  

那么每次挑出来的奇数的和与每次的i有什么关系呢？ 我们可以看出每次挑出的奇数的和是 <=i的奇数的和哎！ 那这样就好办了！等差数列求和公式走起！

当i是奇数的时候，利用求和公式 sum = （1 + i ）/2*（1+ i ）/2

当i是偶数的时候，利用求和公式 sum =  （1 + i -1）*i /2 ,即 i* i /2,那么这个式子 是不是等于   (（1+i）/2)  * (（1+i）/2) 呢？ 答案是肯定的，因为 i是偶数啊，i+1后在除以2 是要强制取整的。 这样，我们就将i是奇数和偶数两种情况的计算式统一了起来。

这样，我们在用算法表达式将思路实现出来就不难了吧！