最小生成树MST(Minimum Spanning Tree)-普里姆(Prim)算法
来源:互联网 发布:淘宝店招加热区软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 06:07
图的定义时 我们规定一个连通图的生成树是一个极小连通子图 含有N个顶点N-1个边 我们把图中带权的边 最小代价生成的树成为最小生成树。
普里姆(Prim)算法 prim算法适合稠密图,其时间复杂度为O(n^2),其时间复杂度与边得数目无关以顶点找顶点 考虑权值
存储方式为邻接矩阵
基本思想:假设G=(V,E)是连通的,TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}(u0∈V)、TE={}开始。重复执行下列操作:
在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中,同时v0并入U,直到V=U为止。
此时,TE中必有n-1条边,T=(V,TE)为G的最小生成树。
Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。
注意:prim算法适合稠密图,其时间复杂度为O(n^2),其时间复杂度与边得数目无关,
为了更好理解我们在这里举一个例子,示例如下:
(1)图中有6个顶点v1-v6,每条边的边权值都在图上;在进行prim算法时,我先随意选择一个顶点作为起始点,当然我们一般选择v1作为起始点,好,现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点,TE集合为所找到的边,现在状态如下:
U={v1}; TE={};
(2)现在查找一个顶点在U集合中,另一个顶点在V-U集合中的最小权值,如下图,在红线相交的线上找最小值。
通过图中我们可以看到边v1-v3的权值最小为1,那么将v3加入到U集合,(v1,v3)加入到TE,状态如下:
U={v1,v3}; TE={(v1,v3)};
(3)继续寻找,现在状态为U={v1,v3}; TE={(v1,v3)};在与红线相交的边上查找最小值。
我们可以找到最小的权值为(v3,v6)=4,那么我们将v6加入到U集合,并将最小边加入到TE集合,那么加入后状态如下:
U={v1,v3,v6}; TE={(v1,v3),(v3,v6)}; 如此循环一下直到找到所有顶点为止。
(4)下图像我们展示了全部的查找过程:
#include<iostream>#include<fstream>using namespace std;#define MAX 100#define MAXCOST 65535int graph[MAX][MAX];int Prim(int graph[][MAX], int m)//m 是点数{ int lowcost[m]; int mst[m]; int i, j, min, k, sum = 0; mst[1] = 0; lowcost[1]=0; for (i = 2; i <= m; i++) { lowcost[i] = graph[1][i]; mst[i] = 1; } for (i = 2; i <= m; i++) { min = MAXCOST; k = 0; for (j = 2; j <= m; j++) { if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0) { min = lowcost[j]; k = j;//找到最小值下标 } } cout << "V" << mst[k] << "-V" << k << "=" << min << endl; sum += min; lowcost[k] = 0;//到达k的距离为0 说明这个顶点完成了任务 for (j = 2; j <= m; j++) // 更新lowcost 数组 { if (lowcost[j] != 0 && graph[k][j] < lowcost[j]) { lowcost[j] = graph[k][j];/本来到达不了 由于k的引入 可以到达了 mst[j] = k; //这是不能总是从V1开始去别的点 把 现在能找到的近距离类似 mst[k] } } } return sum;}int main(){ int i, j, k, m, n; int cost; cout<<"please input V and E:"; cin >> m >> n;//m=顶点的个数,n=边的个数 //初始化图G for (i = 1; i <= m; i++) { for (j = 1; j <= m; j++) { graph[i][j] = MAXCOST; } } //构建图G cout<<"please intput i j and cost:"<<endl; for (k = 1; k <= n; k++) { cin >> i >> j >> cost; graph[i][j] = cost; graph[j][i] = cost; } //求解最小生成树 cost = Prim(graph, m); //输出最小权值和 cout << "最小权值和=" << cost << endl; return 0;}
测试数据 V E
6 10
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6
结果
V1-V3=1
V3-V6=4
V6-V4=2
V3-V2=5
V2-V5=3
最小权值和=15
请按任意键继续. . .
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