算法基础篇(9)------并查集

● 每周一言

见的事情越多，越容易眼高手低。

导语

前面七节已经把第一节提到的算法都讲完了。对于数据结构中的树和图，由于在实现这些算法的时候会随之用到，不单列出来细讲。不过在基础算法中，有不少在第一节中并未提及，所以再续上几节讲讲。

本节讲并查集。并查集虽然算一个偏冷门的算法，但效率还是很高的。那么，并查集的应用场景如何？算法又是如何实现的？

并查集

我们依然通过一个具体的例子切入：N个人，约定存在血缘关系即为亲人，且如果X和Y是亲人、Y和Z是亲人，则X和Z也是亲人。现给出M对人的血缘关系，保证这N个人都已涵盖在内。求这N个人中一共有多少个家族，并询问T次任意两人是否属于同一个家族。

根据题目描述，不难想到一种暴力枚举法，那就是每次将有血缘关系的两个人所属的家族集合重置为同一个值。可想而知当N、M、T较大时，算法时间复杂度将不可估量。此时，并查集横空出世。

并查集解法的最优数据结构是森林，算法思想是：N个人作为N棵树，首先初始化每棵树为一个家族；然后根据给出的M对血缘关系，合并子树组成新的家族。比如给出5组血缘关系：(a，b)(b，c)(d，e)(d，f)(d，b)，并查集构建步骤如下图所示：

上图中字母后面的数字代表家族编号。首先(a，b)表示a和b有血缘关系，将b所在的树根指向a所在的树根组成一棵新的家族树；然后依次按照此规则更新(b，c)(d，e)(d，f)(d，b)这四组血缘关系。这里显示说明一下，当处理(d，b)的时候，由于b不是当前家族树的根节点，因此需要先找到根节点a，再把a指向d。此外，为了防止树退化成链表，通常将深度较小的树指到深度较大的树的根上，因此上图(6)的连法需更新成如下：

可知家族数量即为森林中最后形成的树数量。当查询任意两个人是否属于一个家族时，只需要分别比较这两个节点所在树的根节点家族即可。为了方便理解，上面的图直接把子树所有节点的家族编号都置为与根节点一致。

路径压缩 不难发现，当家族树某个分支过长的时候，每次合并或查找仍然会耗费不少时间，这时需要用一种叫路径压缩的方法来优化。一句话概括其优化思想为：每次找树根的时候将经过的所有节点均修改为指向根节点，把较长的路径变成多子树，路径压缩也因此得名。更新后的步骤如下图所示：

并查集的时间复杂度为O(MlogN)，路径压缩后每次查询的时间复杂度为O(C)常数级别。敬请期待下节内容 匈牙利算法。

结语

感谢各位的耐心阅读，后续文章于每周日奉上，欢迎大家关注小斗公众号 对半独白！