[AHOI2004]数字迷阵题解

题目描述

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输入输出格式

输入格式：

每行有三个正整数，分别是i,j,m，其中i,j<=10^9,2<=m<=10^4。

输出格式：

每行输出对应的第i行，第j列的那个正整数对m取模的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2 99

输出样例#1：

2

输入样例#2：

9 1 999

输出样例#2：

22

解决方案

首先我们可以判断出每行都是变形的斐波那契数列,又因为a[i][2]=2a[i][1]−(i−1),所以本质上a[i][j]只与第i行的第一个元素有关,那么关键求a[i][1]

我们发现第一列增加的值为2或3,其实我们可以发现第一次(第二行)+3,后面两次(3,4行)分别+2-3,再后面的3次是前两次的序列和,即3-2-3……

每一次往后推的项数满足斐波那契数列,且就是前面两次的那些项连起来.即第一列通项为f[i]=⌊i×t+t−1⌋ ,其中t=5√+12

所以我们可以用O(1)的时间求

a[i][1]

,但是需要O(N)的时间求a[i][j],那么我们可以令f[0]=1,f[1]=1,a=1,b=1,则

m=5√+12,k=1−5√2 ,f[n]=kn×(1−m)−mn×(1−k)k−m

即f[n]=mn+1−kn+15√ ;

其实就是斐波那契数列通项公式

其他行就是初值不一样而已,代码不想写注释,自己都觉得奇丑无比……

代码

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;typedef long long LL;int n,m,p;int x[101][3][3],y[3][3],z[3][3],a[101],k1,k2,ans;int i,j,k,l;int main() {    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);    m--;    x[0][1][2]=x[0][2][1]=x[0][2][2]=1;    a[0]=1;    for(i=1;a[i-1]*2<=m;i++) {        a[i]=a[i-1]*2;        for(j=1;j<=2;j++)            for(k=1;k<=2;k++)                 for(l=1;l<=2;l++)                    x[i][j][k]=(x[i][j][k]+(LL)x[i-1][j][l]*x[i-1][l][k])%p;    }    y[1][1]=y[2][2]=1;    for(i--;i>=0;i--) {        if(a[i]<=m) {            m-=a[i];            for(j=1;j<=2;j++)                 for(k=1;k<=2;k++)                    for(l=1;l<=2;l++)                         z[j][k]=(z[j][k]+(LL)x[i][j][l]*y[l][k])%p;            for(j=1;j<=2;j++)                 for(k=1;k<=2;k++) {                    y[j][k]=z[j][k];                    z[j][k]=0;                }        }    }    k1=((LL)(n*(1+sqrt(5))/2+n-1))%p;    k2=((2*k1-n+1)%p+p)%p;    ans=((LL)k1*y[1][1]+(LL)k2*y[1][2])%p;    printf("%d\n",ans);    return 0;}