线性代数mooc课（3.1）

看到线性变换这部分， 

二阶矩阵可以实现对平面的 翻转，旋转，拉伸。

如何得到旋转的变换?

传统的做法:     设点A( x,y) 的极坐标 （r, θ )， 旋转d角度之后得到B（r, θ+d），  

因为 x = rcosθ，  y=rsinθ

所以 B = (r*cos(θ+d), r*sin(θ+d)) =  ( xcos(d)-ysin(d),   y cos(d)+xsin(d) ) 

从线性变换的角度来看，只需要考虑对同一组基的变换就可以得出变换对应的矩阵。（强调是同一组基，如果点的表示用的是另一组基，就错了）

正交单位基  （0,1）   （1,0）， 旋转d角度之后是    (-sin d,  cos d),（cos d, sin d）

平移的变换有点难，必须借助

这里想到一个问题：  给定一组基和一个点A(x,y)， 如何把 A 变换到用另一组基表示的点

例如点  A0(1，1), 此时基是 (1,0)  (0,1)

如果用换一组基   (1,0)（-sqrt(2), sqrt(2),  A1点就应该是 （ sqrt(2)/2,   2）

这个感觉有点像抽梁换柱。 对点P换一组基，点P的向量表示也要随之变化，这个变化应该是可以用一个矩阵描述的。

我尝试了把新基作为列向量拼出一个新矩阵X， 发现  X*A1 = A0，  左乘X的逆， 就可以把A0变化到A1了。

也就是说，换基的变换对应的是  新基的逆矩阵

这个结论好像挺直观的。

然后醒悟到任意一组基之间都可以这么转化。

如果  Ax = By，  这里方阵A B都是可逆的（当然就是满秩的，列向量可以作为一组基）

x代表的是某一点以A为基的向量表示

y代表的是同一点以B为基的向量表示,

那么如果要对向量x换基（从A换到B）， 只需要x左乘A  再 左乘B的逆即可

那么如果要对向量y换基（从B换到A）， 只需要y左乘B  再 左乘A的逆即可