数据结构mooc课小结（1）

第一课， 讲了最大子序列和的算法。 从O(n^3) 逐步讲解到O(n) 的算法。

O(n^3) 和 O(n^2) 的算法非常直白，无需赘述。

O(n log n)的分治法，值得去实现， 锻炼一下代码能力。

主要思路是： 二分的时候，目标序列只可能有三种情况： 左边，右边，横跨分界线。

选三者中最大的就好了。

我觉得最核心的就是怎么处理 横跨分界线的情况，这个是我一开始没想出来的。

后来看了别人的做法，就是从中间元素开始向左边求和，求出mid到left中，最大的序列和， 然乎再从mid到right找连续的最大序列和。 两者相加即可。

以  4,-3,  5,-2,  -1,2,  6,-2 为例，

分治到 4 的时候，返回4， -3的话返回0，还有横跨中间的情况也得到4.

那么[4   -3]所得结果就是 4 0 4.

同理[5 -2]  则是  5 0 5

[ 4   -3   5   -2] 的结果4 5 6，  6是怎么来的？从mid到left 得到1， mid向右得到5，加起来得到6

下面是当时参考的别人的代码

int maxSubArray(int nums[], int left, int right){    int maxLeftSum, maxRightSum;    int maxLeftBorderSum, maxRightBorderSum;    int leftBorderSum, rightBorderSum;    if(left == right)        if(nums[left] > 0)            return nums[left];        else            return 0;    int mid = (left + right) / 2, i;    maxLeftSum = maxSubArray(nums, left, mid);    maxRightSum = maxSubArray(nums, mid + 1, right);    maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;    for(i = mid; i >= left; i--){        leftBorderSum += nums[i];        if(leftBorderSum > maxLeftBorderSum)            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;    }    maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;    for(i = mid + 1; i <= right; i++){        rightBorderSum += nums[i];        if(rightBorderSum > maxRightBorderSum)            maxRightBorderSum = rightBorderSum;    }    return max3(maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum);}

O(n)的做法需要多一点分析，利用最大序列和的某些特性：

1、负数开头的序列，都不可能是目标序列，因为总可以去掉这开头的负数，使得序列和更大。

2、特性1的推广，任何和为负数的序列都不可能是 目标序列的一部分，因为总可以去掉开头这部分和为负的子序列，获得更大的序列和。

那么求和的时候，一旦部分和是负的，就可以抛弃了，从下一个数开始从零开始累计即可。

int sum = 0, max=0;for (int i=0; i<n; i++){sum += a[i];if (sum <=0 ) sum = 0;  //前一段序列和不是正数，从头再来 if (sum > max) max = sum;}

序列和还有一些别的变种，例如要给出最大序列的开头和结尾。

这里涉及一个细节， 序列和为0的子序列可以作为目标序列的开头， 也可以忽略掉。 这个地方只能根据需要自行调整了。

下面的例子是，尽可能取目标序列中开头 和结尾下标最小的那个。

也就是说，开头和为0的都要选，结尾和为0的都不要

for( i=0; i<n; i++){scanf("%d", a+i);sum += a[i];e = i;if( sum  < 0){sum = 0;s = i+1;e = s;}if( sum > max ){max = sum;start = s;end   = e;}}