【区间DP】NYOJ 737石子合并+POJ 2955 Brackets（括号匹配）+NYOJ 15 括号匹配（二）

摘自远航学长的模板

区间dp，顾名思义，就是在区间上dp，即把整个区间划分为一个个的小区间，在小区间内dp求出最优值，然后把这些小区间合并以后就是整个取件的最优值。

下面是一些比较经典的区间dp题目：

1.NYOJ 737 石子合并：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=737

题意：有n堆石子，每堆有a[i]个，每次合并时只能合并相邻的两堆，代价为两堆石子的个数之和。问把这n堆石子合并成一堆需要的最小代价是多少。

状态：dp[i][j] 表示合并第 i 堆到第 j 堆石子的最小代价
转移方程;dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]);
其中sum[i]表示前i堆石子的总个数。

code:

#include<stdio.h>#include<algorithm>using namespace std;#define inf 0xfffffffconst int N=205;int dp[N][N],sum[N];int main(){    int n,a;    while(~scanf("%d",&n))    {        sum[0]=0;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d",&sum[i]);            sum[i]+=sum[i-1];        }        for(int l=2;l<=n;l++)        {            for(int i=1;i<=n-l+1;i++)            {                int j=i+l-1;                dp[i][j]=inf;                for(int k=i;k<=j;k++)                {                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);                }            }        }        printf("%d\n",dp[1][n]);    }    return 0;}

POJ 2955 Brackets(括号匹配) http://poj.org/problem?id=2955

题意：给出一串由‘（‘，’）‘，’['，‘]’组成的字符串，问最多有多少个括号匹配。

状态：dp[i][j]表示 i 到 j 最多的匹配个数

转移方程：dp[i][j] = max（dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j]);

code：

#include<iostream>#include<string.h>#include<algorithm>#include<stdio.h>using namespace std;int dp[105][105];char s[105];bool judge(char a,char b){    if(a=='('&&b==')') return true ;    if(a=='['&&b==']') return true;    return false;}int main(){    while(~scanf("%s",s+1))    {       if(s[1]=='e')       {           break;       }       int len=strlen(s+1);       memset(dp,0,sizeof(dp));       for(int l=2;l<=len;l++)       {           for(int i=1;i+l-1<=len;i++)           {               int j=i+l-1;               if(judge(s[i],s[j]))               {                    dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;               }               for(int k=i;k<=j;k++)               {                  dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);               }           }       }       printf("%d\n",dp[1][len]);    }

}

NYOJ 15 括号匹配（二） http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=15
题意：给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。

状态：dp[i][j]表示 i 到 j 最少需要添加的个数

转移方程：dp[i][j] = max（dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j]);

code：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;const int N=100+5;#define inf 0x3f3f3f3fbool judge(char a,char b){    if(a=='('&&b==')')        return true;    if(a=='['&&b==']')        return true;    return false;}int dp[N][N],vis[N][N];char s[N];int main(){    int T;    scanf("%d",&T);   while(T--)   {       scanf("%s",s+1);       int len=strlen(s+1);       memset(dp,0,sizeof(dp));       memset(vis,0,sizeof(vis));       for(int i=1;i<=len;i++)       {           dp[i][i]=1;       }      for(int l=2;l<=len;l++)      {          for(int i=1;i+l-1<=len;i++)          {              int j=i+l-1;              dp[i][j]=inf;              if(judge(s[i],s[j]))              {                  dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j-1]);              }              for(int k=i;k<=j;k++)              {                  dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);              }          }      }      printf("%d\n",dp[1][len]);   }}