51Nod-1225-余数之和

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描述

题解

对于数论只会打表找规律的我来说，我一上来就打了一张表，然后发掘其中的规律……没法子，脑子跟不上，推不出来规律，只能找规律。

通过这个表我们可以发现：
从第100项到51项是等差数列0~49，base = 1；
从第50项到34项是等差数列0~32，base = 2；
从第33项到26项是等差数列1~22，base = 3；
……

所以我们可以发现，这是由项数递减的若干等差数列构成的，而这个项数满足 N - x = st + base * x，化简也就是说项数 x = (N - st) / (base + 1)，这里需要注意的是向上取整才行，至于为什么，自己模拟试试就知道了，另外还需要注意的是这里可能会超 long long，所以需要用到乘法逆元，也就是 2 对 MOD 的逆元，因为求等差数列的和时涉及到了一个除以 2 的操作，在这里，由于只用到了这一个逆元，所以直接 const 一个值表示它即可，也就是 5e8 + 4，GG！

代码

#include <iostream>using namespace std;const int MOD = 1e9 + 7;const int MOD_2 = 5e8 + 4;int main(int argc, const char * argv[]){    long long N, M;    cin >> N;    M = N;    long long res = 0;    long long base = 1;    long long st = 0;    long long x, ed;    while (M > 0)    {        x = (M - st) / (base + 1);        if (x == 0)        {            break;        }        if ((base + 1) * x != M - st)    //  向上取整        {            x++;        }        ed = st + (x - 1) * base;        res = (res + ((st + ed) % MOD * (x % MOD)) % MOD * MOD_2 % MOD) % MOD;        M -= x;        if (M == 0)        {            break;        }        st = (ed + base) % M;        base++;    }    for (int i = 1; i <= M; i++)    {        res = (res + N % i) % MOD;    }    cout << res << '\n';    return 0;}