Liner_Shaker_Full

线性筛法(不)完全版

求出素数，欧拉函数，莫比乌斯函数，约数个数函数，约数和函数等

原理：

1.线性筛法保证每个数只被最小素因子更新(这也是复杂度为线性O(N)的保证)

2.大部分积性函数支持线性筛法求值 (这里包括完全积性函数和不完全积性函数)

3.相关公式

令   ,   表示因子个数

有

对于下面两个函数，可以处理出每个数最小质因子的相关信息(次数/幂次值)等

代码

#include<bits/stdc++.h>typedef long long ll;using namespace std;const int maxn = 1000009;int prime[maxn],phi[maxn],mul[maxn],d[maxn],e[maxn];ll p[maxn],s[maxn];bool vis[maxn];void init(int mr){mul[1]=phi[1]=d[1]=p[1]=1;for(int i=2;i<=mr;i++){if(!vis[i]){prime[++prime[0]]=i;phi[i]=i-1;mul[i]=-1;d[i]=2;e[i]=1;p[i]=i+1;s[i]=1ll*i*i;}for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=mr;j++){int num=i*prime[j];vis[num]=1;if(i%prime[j]==0){phi[num]=phi[i]*prime[j];mul[num]=0;d[num]=d[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);e[num]=e[i]+1;p[num]=(s[i]*prime[j]-1)*p[i]/(s[i]-1);s[num]=s[i]*prime[j];break;}else{phi[num]=phi[i]*(prime[j]-1);mul[num]=-mul[i];d[num]=d[i]*d[prime[j]];e[num]=1;p[num]=p[i]*p[prime[j]];s[num]=1ll*prime[j]*prime[j];}}}}int main(){init(maxn-9);return 0;}

可能要注意的细节：积性函数必有；乘法与除法的先后顺序，防止爆int和向下取证变成0等

欧拉函数取值在[2,n-1]之间，莫比乌斯函数只会是{-1,0,1}，约数个数显然不会很大，最小素因子次数也不大

关于约数和函数，显然有

根据调和级数那一套理论，约数和取值小于

最小素因子幂次+1也不会大于n*n

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有了她，我们可以干什么？

线性时间复杂度内求出一个区间[1,x]内所有的函数值！

还有呢？

如果顺手处理出num数组表示i的最小素因子值

质因数分解！

然后就可以做题啦！=w=