递归

【递归的定义】

①某一个概念是递归的：一个概念自己给自己定义

②某一个函数是递归的：一个函数直接或者间接地调用自己

【递归的意义】

将一个不能或不容易直接求解的“大问题”转化为若干个“小问题”来求解，再将这些“小问题”进一步转化成更小的“小问题”来求解，直至“小问题”可以直接求解。

【递归求解的条件】

①原问题可以通过一个转化过程，改变成为一个新问题，而新问题的求解法与原问题的求解法相同，只是所处理的对象有所不同，这些对象呈现出有规律的递增或递减；

②通过转化使问题的求解得以简化；

③有一个终止转化过程的条件。

例题：

计算：1+2+3+...+100

解答：令S（n）=1+2+3+…+n，

    则S（n）= n+S（n-1） （n>1，S（1）=1）

分析：求S（100），可转化为100+S（99），而求S（99）又可转化为99+S（98），如此下去，所处理的对象n分别是100，99，98...，呈现出有规律的递减，而S（1）=1就是        一个终止转化过程的条件。

补充：

递归出口：终止转化过程的条件S（1）=1

递归过程：S（n）= n+S（n-1）

注意：转化过程不是随意的，要保证“大问题”与“小问题”的解法相同

【递归模型】

f（s0）= c0

f（sn）= g（f（sn-1），cn）

注：s0和c0为常数，cn是一个可直接求解的问题，g是一个非递归函数

【递归和迭代】

例题：将十进制数n转化为二进制数。

代码：

#include<stdio.h>void Dec2Bin1(int n)//递归函数{if(n>1)Dec2Bin1(n/2);//递归过程printf("%d",n%2);//递归出口}void Dec2Bin2(int n)//迭代函数{int stack[32],top=-1;//定义一个简易顺序栈if(n==0){printf("0");}else if(n>0){do{stack[++top]=n%2;//n%2入栈n=n/2;//n被2整除}while(n!=0);}while(top>=0){printf("%d",stack[top--]);//输出栈中元素}}int main(){int n;printf("请输入需要转换成二进制的十进制数：");scanf("%d",&n);printf("递归法求解%d的二进制得：",n);Dec2Bin1(n);printf("\n");printf("迭代法求解%d的二进制得：",n);Dec2Bin2(n);printf("\n");return 0;}

【递归问题的分类】

①可直接求值，不需要回溯；

②不能直接求值，需要回溯。

分析：这两种递归问题均可转换成迭代求解，前者仅需引入几个变量来保存中间结果（直接转换法），后者需要借助栈来保存中间结果（间接转换法）。

【递归评价】

递归可以解决许多复杂问题；

用递归编程可极大地减少程序代码；

递归函数在执行过程中，需创建递归函数工作栈，从而占用大量内存，当递归调用次数非常大时，有可能耗尽系统的内存资源，使递归调用过程无法返回结果；

递归的执行效率较差。