最长上升子序列LIS模板
来源:互联网 发布:sql 日期变量 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 15:14
有两种算法复杂度为 O(n*logn) 和 O(n^2)
O(n^2)算法分析如下: (a[1]...a[n] 存的都是输入的数)
1、对于a[n]来说.由于它是最后一个数,所以当从a[n]开始查找时,只存在长度为1的上升子序列;
2、若从a[n-1]开始查找.则存在下面的两种可能性:
(1)若a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的上升子序列 a[n-1]、a[n];
(2)若a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的上升子序列 a[n-1]或者a[n];
3、一般若从a[t]开始.此时最长上升子序列应该是按下列方法求出的:
在a[t+1].a[t+2]… a[n]中.找出一个比a[t]大的且最长的上升子序列,作为它的后继。
4、为算法上的需要.定义一个数组dp[1 … n]记录最长上升子序列的长度,则:
dp[1] = 1;
dp[k] = Max (dp[i]:1 <= i < k 且 a[i ]< a[k]且 k != 1) + 1.
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法,设a[t]表示序列中的第t个数,dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度,初始时设dp [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(a))。则有动态规划方程:dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且a[j] < a[t])。
现在,我们仔细考虑计算dp[t]时的情况。假设有两个元素a[x]和a[y],满足
(1)x < y < t
(2)a[x] < a[y] < a[t]
(3)dp[x] = dp[y]
此时,选择dp[x]和选择dp[y]都可以得到同样的dp[t]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择a[x]还是应该选择a[y]呢?
很明显,选择a[x]比选择a[y]要好。因为由于条件(2),在a[x+1] ... a[t-1]这一段中,如果存在a[z],a[x] < a[z] < a[y],则与选择a[y]相比,将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k,我们只需要保留满足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。设D[k]记录这个值,即D[k] = min{a[t]} (dp[t] = k)。
注意到D[]的两个特点:
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[t]与D[len]。若a [t] > D[len],则将a[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = a [t];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < a[t]。令k = j + 1,则有a [t] <= D[k],将a[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,更新D[k] = a[t]。最后,len即为所要求的最长上升子序列的长度。
在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列!
O(n^2)算法分析如下: (a[1]...a[n] 存的都是输入的数)
1、对于a[n]来说.由于它是最后一个数,所以当从a[n]开始查找时,只存在长度为1的上升子序列;
2、若从a[n-1]开始查找.则存在下面的两种可能性:
(1)若a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的上升子序列 a[n-1]、a[n];
(2)若a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的上升子序列 a[n-1]或者a[n];
3、一般若从a[t]开始.此时最长上升子序列应该是按下列方法求出的:
在a[t+1].a[t+2]… a[n]中.找出一个比a[t]大的且最长的上升子序列,作为它的后继。
4、为算法上的需要.定义一个数组dp[1 … n]记录最长上升子序列的长度,则:
dp[1] = 1;
dp[k] = Max (dp[i]:1 <= i < k 且 a[i ]< a[k]
模板:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define EPS 1e-7#define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x))#define long long ll#define double db#define PI acos(-1.0)const int INF = 0x3f3f3f3f;const int MOD=1000000007;const int MAXN = 10000000;const int dx[] = {1, -1, 0, 0};const int dy[] = {0, 0, 1, -1};int a[MAXN];int dp[MAXN];int main(){ int n; while(~scanf("%d", &n)) { clr(a); for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]); dp[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++) { int tmp = 0; for(int j = 1; j < i; j++) { if(a[i] > a[j]) if(tmp < dp[j]) tmp = dp[j]; } dp[i] = tmp + 1; } printf("%d\n", dp[n]); } return 0;}最长上升子序列的O(n*logn)算法分析如下:
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法,设a[t]表示序列中的第t个数,dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度,初始时设dp [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(a))。则有动态规划方程:dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且a[j] < a[t])。
现在,我们仔细考虑计算dp[t]时的情况。假设有两个元素a[x]和a[y],满足
(1)x < y < t
(2)a[x] < a[y] < a[t]
(3)dp[x] = dp[y]
此时,选择dp[x]和选择dp[y]都可以得到同样的dp[t]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择a[x]还是应该选择a[y]呢?
很明显,选择a[x]比选择a[y]要好。因为由于条件(2),在a[x+1] ... a[t-1]这一段中,如果存在a[z],a[x] < a[z] < a[y],则与选择a[y]相比,将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k,我们只需要保留满足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。设D[k]记录这个值,即D[k] = min{a[t]} (dp[t] = k)。
注意到D[]的两个特点:
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[t]与D[len]。若a [t] > D[len],则将a[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = a [t];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < a[t]。令k = j + 1,则有a [t] <= D[k],将a[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,更新D[k] = a[t]。最后,len即为所要求的最长上升子序列的长度。
在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列!
模板
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define EPS 1e-7#define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x))#define long long ll#define double db#define PI acos(-1.0)const int INF = 0x3f3f3f3f;const int MOD=1000000007;const int MAXN = 10000000;const int dx[] = {1, -1, 0, 0};const int dy[] = {0, 0, 1, -1};int a[MAXN];int dp[MAXN];int n, len, j;int binsearch(int x){ int l = 1, r = len; while(l <= r) { int mid = (l + r) / 2; if(dp[mid - 1] <= x && x < dp[mid]) return mid; else if(x > dp[mid]) l = mid + 1; else r = mid - 1; }}int main(){ while(~scanf("%d", &n)) { clr(a); clr(dp); for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]); dp[1] = a[1]; len = 1; for(int i = 2; i <= n; i++) { if(a[i] < dp[1]) j = 1; else if(a[i] > dp[len]) j = ++len; else j = binsearch(a[i]); dp[j] = a[i]; } printf("%d\n", len); } return 0;}
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- LIS(最长上升子序列)算法 -------模板
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