标准二维表问题，catalan数的应用

问题描述：
设n是一个正整数。2*n的标准二维表是由正整数1,2,…,2n组成的2*n数组，该数组的每行从左到右递增，每列从上到下递增。2*n的标准二维表全体记为tab(n)。例如，当n=3时，tab(3)二维表如下图所示。
1 2 3
4 5 6

1 2 4
3 5 6

1 2 5
3 4 6

1 3 4
2 5 6

1 3 5
2 4 6

编程任务：
给定正整数n，试计算tab(n)中2*n二维表的个数。

分析：
1. 先把2*n个数字排成一行来看（1~2*n 有序）。放到第一行的数字标记为0，放到第二行的数字标记为1，这样就可以有一个01的序列，题目要求前面的数字比后面和下面的数字小，这样可以转换为，序列前面每个数字前面0的个数要大于等于1的个数。
2. 就是求由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，0的累计数不小于1的累计数的方案种数。
3. 这个数恰好是catalan数

算法实现

#include<iostream>using namespace std;int cantalan( int n){    if(n == 0 || n == 1) return 1;    else{        return cantalan(n-1)*(4*n -2)/(n+1);    }};int main(){    int size = 0;    cin>>size;    cout<<cantalan(size);}

只能说cantalan数应用范围太广了，领教了。

附：catalan数应用：

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式 ：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式 ：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)

应用例题
一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

分析：
对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)。

类似问题 买票找零
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)