维度探索——二维线段树

前言

线段树是一个神奇的东西，可以O（n）建树，O（logn）修改、查询，维护一个区间的性质。但是线段树维护的序列一定是一维的，如果我要维护一个“二维”的结构呢？就比如说，维护一个矩阵中子矩阵的和。简单地说就是给你一个表格，每次用“圈出”一个矩形的部分让你求它所有元素的和。

没有学过线段树的同学们一定要先学一下线段树一定要先学习一下，再来看这篇博客。

学习链接： 我与线段树的故事（纯新手请进）

1.静态二维子矩阵和

解决这个问题自然要从静态（一维）区间和得出灵感。静态一维区间和我们用的方法是求“前缀和”，我们可以用O（n）的时间复杂度求出一个pre数组，pre[i]表示闭区间[1,i]对应元素的和。如果我想要求区间[i,j]的区间和，用计算pre[j]-pre[i-1]就可以O（1）解决问题。

同学们可以尝试着把这个理论推广到二维，我们可以去维护一个二维“前缀和”来解决这个问题。

区域“I”的矩阵和，就相当于是区域“I+II+III+IV”的和减去区域“III+IV”、减去区域“III+II”、再加上区域“III”。

如果我们用sum(i,j,k,l)表示区域“I”，那么就有sum(i,j,k,l)=sum(1,j,1,l)-sum(1,i,1,l)-sum(1,j,1,k)+sum(1,i,1,k)。这样我们就把所有的数据表示成了一个“二维前缀”的形式了。我们可以用pre(i,j)表示sum(1,i,1,j)，就有sum(i,j,k,l)=pre(j,l)-pre(i,l)-pre(j,k)+pre(i,k)。

pre(i,j)如何求解呢？显然可以使用和sum同样的方法：pre[i][j]=pre[i-1][j]+pre[i][j-1]-pre[i-1][j-1]+a[i][j]（a表示原数组）。

请看伪代码：

Init:For i = 1 to n    For j = 1 to m        pre[i][j]=pre[i-1][j]+pre[i][j-1]-pre[i-1][j-1]+a[i][j]Query:sum(i,j,k,l)=pre[j][l]-pre[i][l]-pre[j][k]+pre[i][k]

2.二维线段树

二维线段树，每一个节点对应一个子矩阵（根节点代表整体），每个节点有四个儿子节点，分别表示它的“左上，左下，右上，右下”四个部分，例如下图：

当然，如果边长不是二的整数次幂也是可以这样二分的：

这样我们就得到了一个建树的方法：

build(Root,Left,Right,Up,Down)    if 确定到唯一元素        Root.sum=这个元素    else    if 这个区域只有一列        Root.左上子=新结点        Root.左下子=新结点        int mid=(Up+Down)/2        build(Root.左上子,Left,Right,Up,mid)        build(Root.左下子,Left,Right,mid+1,Down)        Root.sum=Root.左上子.sum+Root.左下子.sum    else    if 这个区间只有一行        Root.左上子=新结点        Root.右上子=新结点        int mid=(Left+Right)/2        build(Root.左上子,Left,mid,Up,Down)        build(Root.右上子,mid+1,Right,Up,Down)        Root.sum=Root.左上子.sum+Root.右上子.sum    else        Root.左上子=新结点        Root.左下子=新结点        Root.右上子=新结点        Root.右下子=新结点        int midLR=(Left+Right)/2        int midUD=(Up+Down)/2        build(Root.左上子,Left,midLR,Up,midUD)        build(Root.左下子,Left,midLR,midUD+1,Down)        build(Root.右上子,midLR+1,Right,Up,midUD)        build(Root.右下子,midLR+1,Right,MidUD+1,Down)        Root.sum=Root.左上子.sum+Root.左下子.sum+Root.右上子.sum+Root.右下子.sum

查询还是比较简单的（因为没有lazy，不懂的回去复习线段树！）：

Query(Root,Left,Right,Up,Down)    if Root == NULL//这样当查询NULL结点时可以直接忽略掉,不会RE        return 0    return Query(Root.左上子,Left,Right,Up,Down)+        Query(Root.左下子,Left,Right,Up,Down)+        Query(Root.右上子,Left,Right,Up,Down)+        Query(Root.右下子,Left,Right,Up,Down)

然后是正经的代码：

struct NODE{    int l,r,u,d;    int luch,ruch,ldch,rdch;    int sum;    NODE(int L=0,int R=0,int U=0,int D=0,        int LUCH=0,int RUCH=0,int LDCH=0,int RDCH=0,        int SUM=0){        l=L;r=R;u=U;d=D;        luch=LUCH;ruch=RUCH;ldch=LDCH;rdch=RDCH;        sum=SUM;    }}ns[1048576];int newnode=1;//当前亟待申请的节点#define LST(ROOT) (ns[ROOT].l)#define RST(ROOT) (ns[ROOT].r)#define UST(ROOT) (ns[ROOT].u)#define DST(ROOT) (ns[ROOT].d)//表示一个结点的区间范围#define LUCH(ROOT) (ns[ROOT].luch)#define RUCH(ROOT) (ns[ROOT].ruch)#define LDCH(ROOT) (ns[ROOT].ldch)#define RDCH(ROOT) (ns[ROOT].rdch)//表示一个结点的四个儿子#define SUM(ROOT) (ns[ROOT].sum)//这些define可以使代码更好理解，但实际上没什么必要int a[101][101];void build(int root,int l,int r,int u,int d){    if(l==r && u==d)        ns[root]=NODE(l,r,u,d,-1,-1,-1,-1,a[u][l]);    else    if(u==d)    {        int nlu=newnode++;        int nru=newnode++;        int mid=(l+r)/2;        build(nlu,l,mid,u,d);        build(nru,mid+1,r,u,d);        ns[root]=NODE(l,r,u,d,nlu,nru,-1,-1,SUM(nlu)+SUM(nru));    }else    if(l==r)    {        int nlu=newnode++;        int nld=newnode++;        int mid=(u+d)/2;        build(nlu,l,r,u,mid);        build(nld,l,r,mid+1,d);        ns[root]=NODE(l,r,u,d,nlu,-1,nld,-1,SUM(nlu)+SUM(nld));    }else{        int nlu=newnode++;        int nru=newnode++;        int nld=newnode++;        int nrd=newnode++;        int midlr=(l+r)/2;        int midud=(u+d)/2;        build(nlu,l,midlr,u,midud);        build(nru,midlr+1,r,u,midud);        build(nld,l,midlr,midud+1,d);        build(nrd,midlr+1,r,midud+1,d);        ns[root]=NODE(l,r,u,d,nlu,nru,nld,nrd,SUM(nlu)+SUM(nru)+SUM(nld)+SUM(nrd));    }}int ask(int root,int l,int r,int u,int d){    if(root==-1)        return 0;    if( (l<=LST(root) && RST(root)<=r) &&        (u<=UST(root) && DST(root)<=d))        return SUM(root);    if( (LST(root)>r || RST(root)<l) &&        (UST(root)>d || DST(root)<u))        return 0;    int nlu=LUCH(root);    int nru=RUCH(root);    int nld=LDCH(root);    int nrd=RDCH(root);    return ask(nlu,l,r,u,d)+ask(nru,l,r,u,d)+ask(nld,l,r,u,d)+ask(nrd,l,r,u,d);}

理论上来讲，代码与普通线段树是极其相似的。

后记

赶稿匆忙，如有谬误，望同学们谅解。