BZOJ 1228: [SDOI2009]E&D 博弈，SG函数，组合游戏

Description

小E 与小W 进行一项名为“E&D”游戏。游戏的规则如下：桌子上有2n 堆石子，编号为1..2n。其中，为了方便起见，我们将第2k-1 堆与第2k 堆（1 ≤ k ≤ n）视为同一组。第i堆的石子个数用一个正整数Si表示。一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的石子数必须保证大于0。显然，被分割的一堆的石子数至少要为2。两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时，所有堆的石子数均为1，则此时没有石子可以操作，判此人输掉比赛。小E 进行第一次分割。他想知道，是否存在某种策略使得他一定能战胜小W。因此，他求助于小F，也就是你，请你告诉他是否存在必胜策略。例如，假设初始时桌子上有4 堆石子，数量分别为1,2,3,1。小E可以选择移走第1堆，然后将第2堆分割（只能分出1 个石子）。接下来，小W 只能选择移走第4 堆，然后将第3 堆分割为1 和2。最后轮到小E，他只能移走后两堆中数量为1 的一堆，将另一堆分割为1 和1。这样，轮到小W 时，所有堆的数量均为1，则他输掉了比赛。故小E 存在必胜策略。
Input

的第一行是一个正整数T（T ≤ 20），表示测试数据数量。接下来有T组数据。对于每组数据，第一行是一个正整数N，表示桌子上共有N堆石子。其中，输入数据保证N是偶数。第二行有N个正整数S1..SN，分别表示每一堆的石子数。
Output

包含T 行。对于每组数据，如果小E 必胜，则输出一行”YES”，否则输出”NO”。
Sample Input
2

4

1 2 3 1

6

1 1 1 1 1 1

Sample Output
YES

NO

【数据规模和约定】

对于20%的数据，N = 2；

对于另外20%的数据，N ≤ 4，Si ≤ 50；

对于100%的数据，N ≤ 2×10^4，Si ≤ 2×10^9。

解法：经典博弈套路求SG。先暴力打表找规律，然后带入组合游戏的异或和公式判断必胜还是必败。

暴力打表

//BZOJ 1228#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int sg[225][225];int getSG(int n, int m){    if(sg[n][m]!=-1) return sg[n][m];    bool b[225];    memset(b, 0, sizeof(b));    for(int i=1; i< n; i++){        b[getSG(n-i, i)] = 1;    }    for(int i=1; i< m; i++){        b[getSG(i, m-i)] = 1;    }    for(int i = 0;;i++) if(!b[i]) return sg[n][m]=i;}int main(){    int t, n, m, a, b, ans;    memset(sg, -1, sizeof(sg));    sg[1][1] = 0;    sg[2][1] = sg[1][2] = 1;    n = 9, m = 9;    for(int i = 1; i <= n; i++){        for(int j = 1; j <= m; j++){            printf("sg[%d][%d]:%d%c", i, j, getSG(i, j), "\n"[j==m]);        }        printf("\n");    }    return 0;}

ac代码

//BZOJ 1228#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int getSG(int n, int m){    if((n&1)&&(m&1)) return 0;    if(!(n&1)&&!(m&1)) return getSG(n/2,m/2)+1;    return (n&1)?getSG((n+1)/2,m/2)+1:getSG(n/2,(m+1)/2)+1;}int main(){    int t, n, a, b;    scanf("%d", &t);    while(t--){        scanf("%d", &n);        n/=2;        int ans=0;        for(int i=1; i<= n; i++){            int a, b;            scanf("%d%d", &a, &b);            ans ^= getSG(a, b);        }        if(ans) puts("YES");        else puts("NO");    }    return 0;}