UVA11582 Colossal Fibonacci

问题描述:

这题花了我一天时间调，还是自己渣，很多细节都没注意。

分析：

因为要求的是 f(ab) mod n，那么就可以设F(i)=f(i) mod n。则f(ab) mod n=F(ab)。
这里有一个关键的地方，f(i) mod n 会重复循环，为什么会这样呢？因为斐波那契数列的每一项都只和前两项有关。所以共有 n2 个可能，最后一定会出现循环节，也就是说余数最多 n 种，则最多 n2 项就会出现重复。

这下就可以先建一个 F(i) 的表：因为根据斐波那契数列递推式：

• f(i)=f(i−1)+f(i−2) //式1

根据式1和(a+b) mod n=(a mod n+b mod n) mod n得出

• f(i) mod n=(f(i−1) mod n+f(i−2) mod n) mod n //式2

• 而F(i)=f(i) mod n //式3

  则根据式2和式3得出

• F(i)=(f(i−1) mod n+f(i−2) mod n) mod n=(F(i−1)+F(i−2)) mod n

即 F(i) 通过 F(i−1) 和 F(i−2) 求和取模得出。关键是需要找到重复节的位置，并停止填表。
最后找到 ab 的位置，查表即可。

代码如下：

void Fibonacci_F(){    F[0] = 0;    F[1] = 1;    for(int i=2; ; i++)    {        F[i] = (F[i-1] + F[i-2]) % n;        if(F[i-1] == 0 && F[i] == 1)        {            k = i-1;            break;        }    }    return;}

完整代码如下：

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;typedef unsigned long long LL;const int maxn = 10000000+10;int F[maxn];LL a,b;int n,k;/*建表*/void Fibonacci_F(){    F[0] = 0;    F[1] = 1;    for(int i=2; ; i++)    {        F[i] = (F[i-1] + F[i-2]) % n;        if(F[i-1] == 0 && F[i] == 1)        {            k = i-1;            break;        }    }    return;}/*幂求模*/int pow_mod(LL a, LL b, int n){    if(b == 0) return 1;    int x = pow_mod(a, b/2, n);    x = x * x % n;    if(b%2 == 1) x = x * a % n;    return x;} int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        cin>>a>>b>>n;        if(a == 0 || n == 1)        {            cout<<0<<endl;//关键。        }        else{            Fibonacci();            printf("%d\n",F[pow_mod(a%k,b,k)]);        }    }    return 0;}

有一个细节很重要：

if(a == 0 || n == 1){     cout<<0<<endl;//关键。}

就是因为少了这个，我一直runtime error，所以细节决定成败。