二叉树

1，树的定义：
1）有且仅有一个特定的称为根Root的结点。
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集，其中每个集合本身又是一个棵树，并称为根的子树。
2，树的表示方法：

最常见的是树形表示法和广义表表示法，下面是树形表示法，如图所示。

上图的广义表表示法为：(A(B(D，E)，C(F，G)))

3，常见的术语：
1) 父节点，孩子节点，兄弟节点。以上图为例，A是B和C的父节点，B和C是A的孩子节点，B和C之间就是兄弟节点了。
2) 结点的度和树的度。结点的度即结点有几个分支，比如节点A有两个分支B和C，那么结点A的度就是2，树的度即为一棵树中结点的最大度数，所以树的度也是2。
3) 有序树和无序树。如果将树中结点的子树看成是从左至右依次有序且不能交换，则称该树为有序树，否则称为无序树。
4) 森林。在上图中，如果将根节点A拿掉，那么B和C子树合并就是森林了。
5) 二叉树。二叉树是一种特殊的树。它的每个结点至多只有两棵子树。
4，二叉树的常见性质：
性质1 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)
性质2 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k>=1)
性质3 满二叉树，在一棵深度为k且有2k-1个结点。完全二叉树，若一棵深度为k的二叉树，其前k-1层是一个棵满二叉树，而最下面一层(即第k层)上的结点都集中在该层最左边的若干位置上。
满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树则不一定是满二叉树。
下面是满二叉树和完全二叉树图示。

5，二叉树的两种存储结构
1) 顺序存储
对于完全二叉树而言，可以使用顺序存储结构。但是对于一般的二叉树来说，使用存储结构会有两个缺点，一，如果不是完全二叉树，则必须将其转化为完全二叉树，二是增加了很多虚节点，浪费资源空间。

2) 链式存储
这是最常用的一种二叉树存储结构。每个结点设置三个域，即值域，左指针域和右指针域，用data表示值域，lchild和rchild分别表示指向左右子树的指针域。如图所示。

6，二叉树的常见操作
1) 插入节点
思路：首先找到要插入节点的父节点，然后确定插到父节点的左边还是右边，最后将节点插入。
2) 查找节点
思路：运用递归查找。
3) 计算树的深度
思路：分别递归左子树和右子树，取长度较大的那一个作为整个树的深度。
4) 遍历之先序遍历
思路：先访问根，然后遍历左子树，再遍历右子树
5) 遍历之中序遍历
思路：先遍历左子树，再访问根，最后遍历右子树
6) 遍历之后序遍历
思路：先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根
7) 遍历之层次遍历
思路：从上到小，从左到右遍历

namespace DS.BLL{    /// <summary>    /// 描述:二叉树操作类    /// 作者:鲁宁    /// 时间:2013/9/5 11:36:43    /// </summary>    public class BinTreeBLL    {        //按层遍历的存储空间长度        public static int Length { get; set; }        /// <summary>        /// 生成根节点        /// </summary>        /// <returns></returns>        public static BinTree<string> CreateRoot()        {            BinTree<string> root = new BinTree<string>();            Console.WriteLine("请输入根节点，以便生成树");            root.Data = Console.ReadLine();            Console.WriteLine("根节点生成成功");            return root;        }        /// <summary>        /// 插入节点        /// </summary>        /// <param name="tree">待操作的二叉树</param>        /// <returns>插入节点后的二叉树</returns>        public static BinTree<string> Insert(BinTree<string> tree)        {            while (true)            {                 //创建要插入的节点                BinTree<string> node = new BinTree<string>();                Console.WriteLine("请输入待插入节点的数据");                node.Data = Console.ReadLine();                //获取父节点数据                Console.WriteLine("请输入待查找的父节点数据");                var parentNodeData = Console.ReadLine();                //确定插入方向                Console.WriteLine("请确定要插入到父节点的：1 左侧, 2 右侧");                Direction direction = (Direction)Enum.Parse(typeof(Direction), Console.ReadLine());                //插入节点                tree = InsertNode(tree,node,parentNodeData,direction);                //todo:没有找到父节点没有提示???                if (tree == null)                {                    Console.WriteLine("未找到父节点，请重新输入!");                    continue;                }                Console.WriteLine("插入成功，是否继续? 1 继续，2 退出");                if (int.Parse(Console.ReadLine()) == 1) continue;                else break; //退出循环            }            return tree;        }        public static BinTree<T> InsertNode<T>(BinTree<T> tree, BinTree<T> node, T parentNodeData, Direction direction)        {            if (tree == null) return null;            //找到父节点            if (tree.Data.Equals(parentNodeData))            {                switch (direction)                {                     case Direction.Left:                        if (tree.Left != null) throw new Exception("左节点已存在，不能插入!");                        else tree.Left = node;                        break;                    case Direction.Right:                        if (tree.Right != null) throw new Exception("右节点已存在，不能插入!");                        else tree.Right = node;                        break;                }            }            //向左子树查找父节点(递归)            InsertNode(tree.Left,node,parentNodeData,direction);            //向右子树查找父节点(递归)            InsertNode(tree.Right,node,parentNodeData,direction);            return tree;        }        /// <summary>        /// 查找节点        /// </summary>        /// <typeparam name="T">节点数据类型</typeparam>        /// <param name="tree">二叉树</param>        /// <param name="data">要查找的节点数据</param>        /// <returns>要查找的节点</returns>        public static bool GetNode<T>(BinTree<T> tree, T data)        {            if (tree == null) return false;            //查找成功            if (tree.Data.Equals(data)) return true;            //递归查找            return GetNode(tree.Left,data); //这里有问题？？？        }        /// <summary>        /// 获取二叉树的深度        /// 思路：分别递归左子树和右子树，然后得出较大的一个即为二叉树的深度        /// </summary>        /// <typeparam name="T">二叉树的数据类型</typeparam>        /// <param name="tree">待操作的二叉树</param>        /// <returns>二叉树的深度</returns>        public static int GetLength<T>(BinTree<T> tree)        {            if (tree == null) return 0;            int leftLength, rightLength;                        //递归左子树的深度            leftLength = GetLength(tree.Left);            //递归右子树的深度            rightLength = GetLength(tree.Right);            if (leftLength > rightLength) return leftLength + 1;            else return rightLength + 1;        }        /// <summary>        /// 先序遍历        /// 思路：输出根节点--->遍历左子树--->遍历右子树        /// </summary>        /// <typeparam name="T">二叉树的数据类型</typeparam>        /// <param name="tree">待操作的二叉树</param>        public static void Traversal_DLR<T>(BinTree<T> tree)        {            if (tree == null) return;            //输出节点的值            Console.Write(tree.Data+"\t");            //递归遍历左子树            Traversal_DLR(tree.Left);            //递归遍历右子树            Traversal_DLR(tree.Right);        }        /// <summary>        /// 中序遍历        /// 思路：遍历左子树--->输出根节点--->遍历右子树        /// </summary>        /// <typeparam name="T"></typeparam>        /// <param name="tree"></param>        public static void Traversal_LDR<T>(BinTree<T> tree)        {            if (tree == null) return;            //遍历左子树            Traversal_LDR(tree.Left);            //输出节点的值            Console.Write(tree.Data + "\t");            //遍历右子树            Traversal_LDR(tree.Right);        }        /// <summary>        /// 后序遍历        /// 思路：遍历左子树--->遍历右子树--->输出根节点        /// </summary>        /// <typeparam name="T"></typeparam>        /// <param name="tree"></param>        public static void Traversal_LRD<T>(BinTree<T> tree)        {            if (tree == null) return;            //遍历左子树            Traversal_LRD(tree.Left);            //遍历右子树            Traversal_LRD(tree.Right);            //输出节点的值            Console.Write(tree.Data + "\t");        }        /// <summary>        /// 按层遍历        /// 思路：从上到下，从左到右遍历节点        /// </summary>        /// <typeparam name="T"></typeparam>        /// <param name="tree"></param>        public static void Traversal_Level<T>(BinTree<T> tree)        {            if (tree == null) return;            int head=0;            int tail=0;            //申请保存空间            BinTree<T>[] treeList=new BinTree<T>[Length];            //将当前二叉树保存到数组中            treeList[tail] = tree;            //计算tail的位置            tail = (tail + 1) % Length; //除留余数法            while (head != tail)            {                 var tempNode=treeList[head];                //计算head的位置                head = (head + 1) % Length;                //输出节点的值                Console.Write(tempNode.Data+"\t");                //如果左子树不为空，则将左子树保存到数组的tail位置                if (tempNode.Left != null)                {                    treeList[tail] = tempNode.Left;                    //重新计算tail的位置                    tail = (tail + 1) % Length;                }                //如果右子树不为空，则将右子树保存到数组的tail位置                if (tempNode.Right != null)                {                    treeList[tail] = tempNode.Right;                    //重新计算tail的位置                    tail = (tail + 1) % Length;                }            }        }        /// <summary>        /// 清空        /// 思路：使用递归释放当前节点的数据值        /// </summary>        /// <typeparam name="T"></typeparam>        /// <param name="tree"></param>        public static void Clear<T>(BinTree<T> tree)        {            if (tree == null) return;            //递归左子树            Clear(tree.Left);            //递归右子树            Clear(tree.Right);            //释放节点数据            tree = null;        }    }    /// <summary>    /// 二叉树(二叉链表)存储结构    /// </summary>    /// <typeparam name="T"></typeparam>    public class BinTree<T>    {        public T Data { get;set;} //数据域        public BinTree<T> Left { get; set; } //左孩子        public BinTree<T> Right { get; set; } //右孩子    }    /// <summary>    /// 插入方向(左节点还是右节点)    /// </summary>    public enum Direction    {        Left=1,        Right=2    }}