bzoj 3027: [Ceoi2004]Sweet （生成函数）

题目描述

传送门

题目大意：John得到了n罐糖果。不同的糖果罐，糖果的种类不同。第i个糖果罐里有 mi个糖果。John决定吃掉一些糖果，他想吃掉至少a个糖果，但不超过b个。问题是John 无法确定吃多少个糖果和每种糖果各吃几个。有多少种方法可以做这件事呢？

题解

感觉这种有数量限制的方案问题多数都可以用生成函数解决。

ans=(1+x1+...+xm1)(1+x1+...+xm2).....(1+x1+...+xmn)

ans=(1−xm1+1)(1−xm2+1).....(1−xmn+1)(1−x)n

ans=(1−xm1+1)(1−xm2+1).....(1−xmn+1)(1+Cn−1nx+Cn−1n+1x2+.....)

设f(m)表示最多选m个的方案数，那么答案其实就是指数为[0,m]的未知项的系数和。
因为n的个数比较少，所以我们可以2的指数级别爆搜出所有的指数组合，就是将(1−xm1+1)(1−xm2+1).....(1−xmn+1) 暴力拆解，然后统一每一项的指数，设pk表示指数为k的系数。
那么f(m)=∑k>=0pk∗(1+Cn−1n+Cn−1n+1+....+Cn−1n+m−1−k)
因为Cnn=1，Cnn+Cn−1n=Cnn+1,所以带入上式化简得，
f(m)=∑k>=0pk∗Cnn+m−k
那么这道题的答案就是f(b)−f(a−1)

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#define p 2004#define LL long long using namespace std;int n,a,b,ans,m,v[20];int C(int n,int m){    if (n<m) return 0;    LL t=1; LL p1=1;    for (int i=1;i<=m;i++) p1=p1*i;    LL mod=(LL)p*p1;    for (int i=n-m+1;i<=n;i++) t=(LL)t*i%mod;    return (t/p1)%p;}void dfs(int x,int cnt,int sum){    if (x==n+1) {        if (cnt&1) ans-=C(n+m-sum,n);        else ans+=C(n+m-sum,n);        return;    }    dfs(x+1,cnt,sum);    dfs(x+1,cnt+1,sum+v[x]);}int solve(int x){    ans=0; m=x;     dfs(1,0,0);     return ans;}int main(){    freopen("a.in","r",stdin);    freopen("my.out","w",stdout);    scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v[i]),v[i]++;    int t=solve(b)-solve(a-1);    printf("%d\n",(t%p+p)%p);}