0002算法--------整数划分问题算法分析及JAVA代码完美实现

整数划分算法分析以及JAVA代码完美实现

一、问题描述

整数划分：将正整数n表示成一系列正整数只和，n = n1 + n2 + …… + nk，其中n1 >= n2 >= nk >= 1，k >= 1 。正整数 n 的这种表示称为正整数 n 的划分，正整数 n 的所有不同的划分个数总和称为正整数 n 的划分数，记作p（n）。

例如：

正整数 3 有如下3种不同的划分，即p（n）= 3。

3；

2 + 1；

1 + 1 + 1；

正整数 6 有如下11种不同的划分，即p（n）= 11。

6；

5 + 1；

4 + 2，4 + 1 + 1；

3 + 3，3 + 2 + 1，3 + 1 + 1 + 1；

2 + 2 + 2，2 + 2 + 1 + 1，2 + 1 + 1 + 1 + 1；

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1；

二、整数划分算法分析

1、从简单问题开始入手，对于给定正整数3来说，它可以划分为：

• 3；
• 2 + 1；
• 1 + 1 + 1；

其划分的的思想为：

1）将正整数3划分为其本身，即 3 = 3；

2）将正整数3分割成为仅小于 3 的正整数 2，即3 - 1 = 2，和剩下部分 1，即3 - 2 = 1，所以可以将 3 划分为 3 = 2 + 1；

3）将第二步分割后中等于1的正整数不再进行划分，对大于 1 的正整数 2 继续分割，分割为仅小于 2 的正整数 1，即 2 -1 = 1，和剩下部分 1，即 2 - 1 = 1 ，所以可以将 3 继续划分为 3 = 1 + 1 + 1；

2、提升问题规模，对于给定正整数5，它可以划分为：

• 6；
• 5 + 1；
• 4 + 2，4 + 1 + 1；
• 3 + 3，3 + 2 + 1，3 + 1 + 1 + 1；
• 2 + 2 + 2，2 + 2 + 1 + 1，2 + 1 + 1 + 1 + 1；
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1；

1）将正整数6划分为其本身，即 6 ；

2）将正整数6划分为仅小于 6 的正整数 5 即 6 - 1 = 5，和剩下部分 1 即 6 - 5 = 1，所以可以将6划分为6 = 5 + 1；

3）将第二步分割后中等于1的正整数不再进行划分，对大于 1 的正整数 5继续分割，分割为仅小于 5 的正整数 4，和剩下部分 2 ，即6 = 4 + 2；

4）将第三步分割后中大于一的最小正整数 2 进行分割，可分割为 2 = 1 + 1，所以可以将6 = 4 + 1 + 1；（注意：每一步仅对大于 1 的最小正整数进行划分）

5）将正整数6划分为仅小于 4 的正整数 3 即 6 - 3= 3，和剩下部分 3 即 6 - 3 = 3，所以可以将6划分为6 = 3 + 3；

6）将第五步分割后中大于一的最小正整数 3 进行分割，可分割为仅小于3的正整数 2 和剩下部分 1。即 3 = 2 + 1，所以可以将6划分为6 = 3 + 2 + 1，对等式右边的2 又可以划分为仅小于2的正整数1，和剩下部分1，所以可以将6划分为6 = 3 + 1 + 1 + 1；

7）将正整数6划分为仅小于 3 的正整数 2 即 4 - 1= 1，和剩下部分 2 以及 另一部分 2 。即可以将6划分为6 = 2 + 2 + 2；

8）将第七步分割后中大于一的最小正整数 2 进行分割，由于第七步划分后的等式有 3 个 2，所以一次将 3 个 2 划分为 1 + 1，故可以将6划分为：6 = 2 + 2 + 1 + 1，6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1；

9）将第八步分割后中大于一的最小正整数 2 进行分割，分割后为2 = 1 + 1，所以可以将6划分为：6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1；

三、归纳总结

在正整数 n 的所有不同的划分中，将最大加数 n1 不大于 m 的划分个数记作q（n，m）。可以建立q（n，m）的如下递归关系。

1）q（n，1） = 1，n > = 1 。

当最大加数 n1 不大于 1 时，任何正整数 n 只有一种划分形式，即 n = 1 + 1 + … + 1（共 n 个1）。

2）q（n，m）= q（n，n），m >= n；

最大加数 n1 实际上不能大于 n 。因此，q（1，m） = 1；

3）q（n，n）= 1 + q（n，n - 1）。

正整数 n 的划分由 n1 = n 的划分和 n1 <= n - 1的划分组成 。

4）q（n，m）= q（n，m - 1）+q（n - m，m - 1），n > m > 1。

正整数 n 的最大加数 n1 不大于 m 的划分有 n1 = m 的划分和n1 <= m - 1的划分组成。

四、JAVA代码实现

public class IntegerDivide {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stub//分别用正整数3和正整数6进行用例测试int num1 = 3;int num2 = 6;System.out.println("整数3的划分数为 : " + dividePrintln(3));System.out.println("整数6的划分数为 : " + dividePrintln(6));}public static int integerDivide(int n, int m){// n 和 m 为非正整数  返回0if(n < 1 || m < 1) {return 0;} else if(m == 1 || n == 1){        //对应情况为：q（n，1） = 1，n > = 1,q（1，m） = 1return 1;} else if(m > n){        //对应情况为：q（n，m）= q（n，n），m  >=  n；return integerDivide(n, n);} else if(n == m){    //对应情况为：q（n，n）= 1 + q（n，n - 1）return 1 + integerDivide(n, n - 1);} else {  //对应情况为：q（n，m）= q（n，m - 1）+q（n - m，m - 1）return integerDivide(n, m - 1) + integerDivide(n - m, m);}}        //中间函数，对给定需要进行划分的正整数调用integerDivide函数。public static int dividePrintln(int num){return integerDivide(num,num);}}