堆-优先队列

面试的时候被问到了heapsort，发现自己对数据结构这块的理解实在不够，最近打算推翻重新来学一遍。

这里先简单地说一下自己对堆的理解。

堆的特质：

1.平衡二叉树=》保证了操作时间复杂度为logN

2.以最小堆为例，对任意结点，其父节点均小于子节点。=》这样几乎各种操作都是在纵向上（深度）进行的。

由于在堆这个数据结构中，经常需要用到父节点和子节点这个概念，因而为了方便父节点与子节点的取出，当我们把堆存储在数组中时，设置从初始下标由1开始，这样父节点的下标就是子节点下标的一半了。

eg:assume the index of parent is i, then the index of left child is 2*i,and thus right child's 2*i+1

下面的问题：

给一个乱序数组，如何对其进行排序使其满足堆的性质？

我们先把问题化小：给定一个父节点，若已知其左右节点形组成的二叉树满足堆性质，那该如何调节，使得这个父节点组成的二叉树也满足堆性质。

1.若父节点均小于子节点，那么这个父节点以下的堆便满足堆性质。

2.若父节点大于任意一个子节点，那么我们需要交换父子结点，这样引起了一个问题，这个操作会不会打破被交换的子节点以下的堆的性质？如果父节点过大，大于子节点之下的孩子，那么我们还需要对子节点以下的堆进行调整，使其满足堆性质。这样，递归调整下去，直至父节点以下的所有结点都满足堆性质。

void min_heapify(int arr[],int arr_size,int parent){    int left_child=2*(parent+1)-1;    int right_child=2*(parent+1);    if(left_child>=arr_size)        return;    int small;    int tmp;    if(right_child<arr_size&&arr[left_child]>arr[right_child])        small=right_child;    else        small=left_child;    if(arr[small]<arr[parent]){        tmp=arr[parent];        arr[parent]=arr[small];        arr[small]=tmp;        min_heapify(arr,arr_size,small);    }    return;}

回到先前的问题中，我们想构造出一个情景使得我们先前想出的解决方案可以嵌入使用。

我们发现，若我们由下至上地调整结点使其满足堆性质，可以满足我们之前的假设，对给定的一个父节点，其子节点满足堆性质。

那我们就从最后一个父节点推到最前。

如何得到最后一个父节点的下标：

在二叉树中，假设叶节点（度为零的点）共有i个，则度为2点共有i-1个。

证明：

假设二叉树的0度，1度，2度结点为n0,n1,n2，总节点数为T
则有按照结点求和的
T = n0 + n1 + n2       （1）
按照边求和得：
T = n1 + 2 * n2 + 1   （2）
所以 （2） - （1）可得
n2 + 1 - n0 = 0
所以n0 = n2 + 1

当度为1的点有一个时，共有2*i个点，第一个叶节点为第i+1个。设n=2*i,则i+1=n/2+1。

当度为1的点有零个时，共有2*i-1个点，第一个叶节点为第i个。设n=2*i-1,则i=(n+1)/2。

可知，假设总结点数为n，当总结数为偶数时，第n/2+1个为叶节点。当总结点数为奇数时，第(n-1)/2+1=floor(n/2)+1个为叶节点

则我们可以得到第floor(n/2)+1为第一个叶节点，则最后一个父节点为floor(n/2)

void build_heap(int arr[],int arr_size){    int i=floor(arr_size/2);    for(i;i>0;i--){        min_heapify(arr,arr_size,i-1);    }}

如何进行heapsort：

我们需要将数组分割开来，一部分为继续需要排序的heap，一部分为已经排序好的数组。

在先前的操作中我们可以看到，对于结点的选取调整是基于父节点和子节点下标为一半的关系，所以我们需要传入的heap初始下标最好为1（或者0），这样，我们将每次提取的最小节点放在最后（数组的后半部分），而将需要继续调整的heap放在前面。

void heap_sort(int arr[],int arr_size){    build_heap(arr,arr_size);    int tmp;    for(int i=arr_size-1;i>0;i--){        tmp=arr[0];        arr[0]=arr[i];        arr[i]=tmp;        min_heapify(arr,i,0);    }}

由此我们得到了由大至小的数组排序。