树状数组模板

树状数组
树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。
这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。
假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+…+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。
来观察这个图：
令这棵树的结点编号为C1，C2…Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
…
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
这里有一个有趣的性质：
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，
所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + … + An

#include<iostream>using namespace std;int n,m,i,num[100001],t[200001],l,r;//num:原数组；t：树状数组 int lowbit(int x){    return x&(-x);}void change(int x,int p)//将第x个数加p {    while(x<=n)    {        t[x]+=p;        x+=lowbit(x);    }    return;}int sum(int k)//前k个数的和 {    int ans=0;    while(k>0)    {        ans+=t[k];        k-=lowbit(k);    }    return ans;}int ask(int l,int r)//求l-r区间和 {    return sum(r)-sum(l-1); }int main(){    cin>>n>>m;    for(i=1;i<=n;i++)    {        cin>>num[i];        change(i,num[i]);    }    for(i=1;i<=m;i++)    {        cin>>l>>r;        cout<<ask(l,r)<<endl;    }    return 0;}