莫比乌斯函数和莫比乌斯反演

莫比乌斯函数和莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

数论函数：定义域为正整数、陪域为复数的函数，下面讨论的函数均为数论函数。
莫比乌斯函数μ(d)：
- 若d=1，μ(d)=1
- 若d=p1p2…pk，pi为互异素数，μ(d)=(−1)k
- 其他情况μ(d)=0

莫比乌斯函数性质：
1. 莫比乌斯函数是积性函数：μ(n)μ(m)=μ(mn)其中m与n互质。
- 在数论中，互质的数满足此性质称为积性函数，任意数满足此性质称为完全积性函数。
- 极性函数性质
- f(1)=1
- 积性函数的前缀和也是积性函数
2. ∑d|nμ(d)当n=1时为1，n>1时值为0。（????在求 gcd=1或是用杜教筛求前缀和的时候都用的到。）
3. 对任意正整数n有∑d|nμ(d)d=φ(n)n

性质1应用：可以线性筛法求莫比乌斯函数，每个数只被筛一次。
大于1的数字有3类：
- 质数：μ(p)=−1
- 存在某个质因子的指数大于1：μ(n)=0
- 是两个互质的数的积（是若干质数的积）：μ(pn)=−μ(n)
注意只有数存在最小质因子的指数大于 1 时，才会被直接筛为 0，其余的情况是由μ(pn)=−μ(n)得到的。

bool isPrime[maxn];int primes[maxn], mu[maxn], cnt = 0;//primes数组个数小于maxn；cnt为素数个数void mobius_sieve() {    memset(isPrime, true, sizeof isPrime);    mu[1] = 1;    cnt= 0;    for (int i = 2; i < maxn; ++i)    {        if (isPrime[i]) primes[cnt++] = i, mu[i] = -1;        static int d;        for (int j = 0; j < cnt && (d = i * primes[j]) < maxn; ++j)        {            isPrime[d] = false;            if (i % primes[j]) mu[d] = -mu[i];            else            {                mu[d] = 0;                break;            }        }    }}

莫比乌斯反演

两种形式：
- F(n)=∑d|nf(d)⇔f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)
- F(n)=∑n|df(d)⇔f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)