单调队列的实现与应用

                                       单调队列

单调队列引入：

首先看一个例题：

  给你一个长度为N的数组，一个长为K的滑动框从最左端滑到最右端，你只可以看到框内的K个数，每次框向右移动一格。请你找出框在各位置的最小值。

样例输入：

8 3

1 3 -1 -3 5 3 6 7

样例输出：

-1 -3 -3 -3 3 3

代码实现:

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int n,m,i,j,k,l,h,t;int a[100000],q[100000],time[1000001];/*a中存储的就是数组中元素的值，q中存储的是单调队列该位置所对应的数组中元素的值，time是保存单调队列该位置所对应的数组中元素进队的时间*/int main(){cin>>n>>k;for (i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];h=1;for (i=1;i<=n;i++){while (i-time[h]>=k&&(h<t)) h++;队首元素超出K区间边界，需要剔除。while (t>0&&t>=l&&q[t]>a[i]) t--;//从队尾向前扫描，直到找到一个比a[i]小的。此时相当于把后面的剔除了。因为已经可以确定那些值不会是ans。t++;q[t]=a[i];time[t]=i;if (i>=k) cout<<q[h]<<' ';}} 

这个例题充分说明了单调队列是干什么的？来查找不断移动的K区间内的最小（大）值（动态规划中应用广泛）。

单调队列的维护:

    1.这里采用了最直接的方法：普通队列实现缓存数组。

    进队出队都是O(1)，一次查询需要遍历当前队列的所有元素，故O(n)。

    2.还可以用堆实现缓存数组

        堆顶始终是最小元素，故查询是O(1)。（对q数组用堆来维护）

        而进队出队，都要调整堆，是O(log(n))。

单调队列的过程：

     查询：单调队列的队头一定最小值，所以查询为O(1)。

     进队：进队时，将进队的元素为a[i]，从队尾往前扫描，直到找到一个不大于a[i]的元素f[t]，把a[i]放在f[t]之后，舍弃f[t]之后的所有元素；如果没有找到，则把a[i]放在队头（该值当前最小）。

     出队：出队时，将出队的元素为q[h]，从队头向后扫描，直到找到一个‘未老’的元素（即在给定的范围当中），舍弃该元素之前所有的。

     每个元素最多进队一次，出队一次，均摊下来仍然是 O(1)。

单调队列实际上是具有单调性的子序列，但这并不是一个真正意义上的队列，在进队和出队时对某段进行反复操作。但是却具有队列的特性。

    单调队列和二分，线段树一样是用来优化的一种数据结构。在动态规划中应用较广泛。