POJ 3252 Round Numbers （组合数学）

The cows, as you know, have no fingers or thumbs and thus are unable to play Scissors, Paper, Stone' (also known as 'Rock, Paper, Scissors', 'Ro, Sham, Bo', and a host of other names) in order to make arbitrary decisions such as who gets to be milked first. They can't even flip a coin because it's so hard to toss using hooves.

They have thus resorted to "round number" matching. The first cow picks an integer less than two billion. The second cow does the same. If the numbers are both "round numbers", the first cow wins,
otherwise the second cow wins.

A positive integer N is said to be a "round number" if the binary representation of N has as many or more zeroes than it has ones. For example, the integer 9, when written in binary form, is 1001. 1001 has two zeroes and two ones; thus, 9 is a round number. The integer 26 is 11010 in binary; since it has two zeroes and three ones, it is not a round number.

Obviously, it takes cows a while to convert numbers to binary, so the winner takes a while to determine. Bessie wants to cheat and thinks she can do that if she knows how many "round numbers" are in a given range.

Help her by writing a program that tells how many round numbers appear in the inclusive range given by the input (1 ≤ Start < Finish ≤ 2,000,000,000).

Input

Line 1: Two space-separated integers, respectively Start and Finish.

Output

Line 1: A single integer that is the count of round numbers in the inclusive rangeStart.. Finish

Sample Input

2 12

Sample Output

6

最基本的思路：here

大致题意：

输入两个十进制正整数a和b，求闭区间 [a ,b] 内有多少个Round number

所谓的Round Number就是把一个十进制数转换为一个无符号二进制数，若该二进制数中0的个数大于等于1的个数，则它就是一个Round Number

注意，转换所得的二进制数，最高位必然是1，最高位的前面不允许有0

规定输入范围： 1<= a <b<=2E

用组合做

解题思路：

Round Numbers 就是一个表示成二进制的时候0比1多或者相等的正数，注意是正数，所以0就肯定不是了。

     题目是给定一个区间，问在这个区间上的Round Numbers有多少个？

      首先是求出小于等于n的Round Numbers有多少个。

     我先举个例子来先说明，再来说一般方法。

 

     比如： 22 =  10110b  如果要求 <=22的Round Numbers，也就是找出1-22有多少个二进制的0不少于1的数的个数。

      22的二进制长度是5.

      首先找长度比5小的Round Numbers（长度比5小的数肯定小于22啦）

      长度为4的话，第一位必须是1，后面三位的话，可以有2个0，3个0

     所以就是C(3,2)+C(3,3);

     长度为3的Round Numbers，同理有 C(2,2);//注意不要把第一位1忘记了

     长度为2的Round Numbers，有  C(1,1)

     长度为1的Round Numbers，有 0个

 

      下面是找长度和22相同的Round Numbers。

      首先第一位是1.  

       22的第二位是0，所以第二位不能为1，必须是0

       第三位为0的话，（前面有了2个0，1个1），后面两位可以有1个0，2个0

     C（2，1）+C（2，2）

      接下来把第三位恢复为1，看第四位。假如第四位是0，（前面有2个0，2个1），后面一位必须是0    C（1，1）

 

     所以大致求的过程就如上面所述。

 

 

 

 

    

 

     首先先推个公式，就是长度为len的Round Numbers的个数。

     长度为len,第一位肯定是1了。

     那么后面剩下 len-1位。

     如果len-1是偶数。

     那么  C（len-1,(len-1)/2+1)+C（len-1,(len-1)/2+2)+````C(len-1,len-1)

=   ( 2^(len-1)-C(len-1,(len-1)/2) )/2;

    如果len是奇数

   那么就是 (  2^(len-1) )/2

   

      所以上面求比N长度小的Round Numbers是很好求的了。

 

      至于求长度的，则是逐渐把每一位1变为0，去求后面的，就可以保证比n小了。

具体求解：

组合数学题，不知道为什么会被归类到递推数学，可能是因为杨辉三角和组合数之间的关系。。。

我根据我写的程序讲解好了

 

要知道闭区间 [a ,b] 内有多少个Round number，只需要分别求出

闭区间 [0 ,a] 内有T个RN

闭区间 [0 ,b+1] 内有S个RN

再用 S – T 就是闭区间 [a ,b] 内的RN数了

至于为什么是 b+1，因为对于闭区间 [0 ,k] ，我下面要说的算法求出的是比k小的RN数，就是说不管 k是不是RN, 都没有被计算在内，所以若要把闭区间[a ,b]的边界a和b都计算在内，就要用上述的处理方法。

 

现在问题的关键就是如何求[0 ,k]内的RN数了

首先要把k转化为二进制数bin-k，并记录其位数（长度）len

那么首先计算长度小于len的RN数有多少（由于这些数长度小于len，那么他们的值一定小于k，因此在进行组合时就无需考虑组合所得的数与k之间的大小了）

for(i=1;i<bin[0]-1;i++)         //bin[0]记录的是二进制数的长度len

              for(j=i/2+1;j<=i;j++)

                     sum+=c[i][j];

可以看到，i<len-1 ，之所以减1，是因为这些长度比len小的数，最高位一定是1，那么剩下可供放入数字的位数就要再减少一个了

这条程序得到的sum为

 

 

1表示当前处理的二进制数的最高位，X表示该二进制数待放入数字的位

显然这段程序把  二进制数0  排除在外了，这个是最终结果没有影响的，因为最后要把区间[a , b]首尾相减，0存不存在都一样了。

 

 

然后计算长度等于len的RN数有多少（由于这些数长度等于len，那么他们的值可能小于k，可能大于k，因此在进行组合时就要考虑组合所得的数与k之间的大小了）

int zero=0;  //从高位向低位搜索过程中出现0的位的个数

       for(i=bin[0]-1;i>=1;i--)

              if(bin[i])   //当前位为1

                     for(j=(bin[0]+1)/2-(zero+1);j<=i-1;j++)

                            sum+=c[i-1][j];

              else

                     zero++;

之所以初始化i=bin[0]-1，是因为bin[]是逆向存放k的二进制的，因此要从高位向低位搜索，就要从bin[]后面开始，而要 bin[0]-1 ，是因为默认以后组合的数长度为len，且最高位为1，因此最高位不再搜索了。

那么问题的关键就是怎样使得以后组合的数小于k了

这个很简单：

从高位到低位搜索过程中，遇到当前位为0，则不处理，但要用计数器zero累计当前0出现的次数

遇到当前位为1，则先把它看做为0，zero+1，那么此时当前位 后面的 所有低位任意组合都会比k小，找出这些组合中RN的个数，统计完毕后把当前位恢复为原来的1，然后zero-1，继续向低位搜索

 

 

那么问题就剩下 当当前位为1时，把它看做0之后，怎样去组合后面的数了

此时组合要考虑2个方面：

（1）       当前位置i后面允许组合的低位有多少个，我的程序由于bin是从bin[1]开始存储二进制数的，因此 当前位置i后面允许组合的低位有i-1个

（2）       组合前必须要除去前面已出现的0的个数zero

我的程序中初始化j=(bin[0]+1)/2-(zero+1)， j本来初始化为(bin[0]+1)/2就可以了，表示对于长度为bin[0]的二进制数，当其长度为偶数时，至少其长度一半的位数为0，它才是RN，当其长度为奇数时，至少其长度一半+1的位数为0，它才是RN。

但是现在还必须考虑前面出现了多少个0，根据前面出现的0的个数，j的至少取值会相应地减少。  -(zero+1) ，之所以+1，是因为要把当前位bin[i]看做0

 

 

 

然后到了最后，剩下一个问题就是怎样得到每一个 的值，这个我发现很多同学都是利用打表做的，利用的就是 组合数 与 杨辉三角 的关系（建立一个二维数组C[n]

就能看到他们之间关系密切啊！区别就是顶点的值，杨辉三角为1，组合数为0）

其实这个“关系”是有数学公式的

然后它具有以下常用性质：

1.

2.

3.

4.

性质3常用于打表，因为其具递推的性质。

#include<iostream>using namespace std;int c[33][33]={0};int bin[35];  //十进制n的二进制数/*打表，计算nCm*/void play_table(void){for(int i=0;i<=32;i++)for(int j=0;j<=i;j++)if(!j || i==j)c[i][j]=1;elsec[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];return;}/*十进制n转换二进制，逆序存放到bin[]*/void dec_to_bin(int n){bin[0]=0;   ///b[0]是二进制数的长度while(n){bin[++bin[0]]=n%2;n/=2;}return;}/*计算比十进制数n小的所有RN数*/int round(int n){int i,j;int sum=0;  ///比十进制数n小的所有RN数dec_to_bin(n);/*计算长度小于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/for(i=1;i<bin[0]-1;i++)for(j=i/2+1;j<=i;j++)sum+=c[i][j];/*计算长度等于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/int zero=0;  ///从高位向低位搜索过程中出现0的位的个数for(i=bin[0]-1;i>=1;i--)if(bin[i]){///当前位为1for(  j=(bin[0]+1)/2-(zero+1);j<=i-1;j++  )sum+=c[i-1][j];}elsezero++;return sum;}int main(void){play_table();int a,b;cin>>a>>b;cout<<round(b+1)-round(a)<<endl;return 0;}