51Nod 1119 机器人走方格

1119 机器人走方格 V2
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 10 难度：2级算法题
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M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。
Input

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)

Output

输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

Input示例

2 3

Output示例

3

显然C(M-1,M+N-2)=（m+n-2）!/（(n-1）!*（m-1）!),主要是对于除法的取模，之前学过了扩展欧几里得，但是今天在别人博客上看到了费马小定理，好像更方便。
以下维基百科：
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么a (p-1)≡1（mod p）。 即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
其实就是说对于带模的除法，如：求 a / b = x (mod M)
只要 M 是一个素数，而且 b 不是 M 的倍数，就可以用一个逆元整数 b’，通过 a / b = a * b’ (mod M)，来以乘换除。
费马小定理说，对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M)
于是可以拆成：b * b ^ (M-2) = 1 (mod M)
于是：a / b = a / b * (b * b ^ (M-2)) = a * (b ^ (M-2)) (mod M)
也就是说我们要求的逆元就是 b ^ (M-2) (mod M)！ ——（用快速幂可以求出）

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const long long mod=1e9+7;const long long maxn=2000105;long long jc[maxn];long long n,m;void init(){    jc[0]=1;    jc[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++)    {        jc[i]=jc[i-1]*i%mod;    }}long long qmod(long long a,long long b){    long long ans=1;    while(b)    {        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;        b=b>>1;        a=(a*a)%mod;    }    return ans;}int main(){    init();    while(cin>>m>>n)    {         m--;n--;        cout<<jc[m+n]*qmod(jc[m]*jc[n]%mod,mod-2)%mod<<endl;    }}