动态规划-电路布线问题

【问题描述】
在一块电路板的上、下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线（i，π(i)）将上端接线柱i与下端接线柱π(i)相连，如图所示。

其中，π(i)，1<=i<=n是{1，2，…，n}的一个排列。导线（i，π(i)）称为该电路板上的第i条连线。对于任何1<=i π(j)。
在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层上的连线不相交。你的任务是要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。换句话说，就是确定导线集Nets={ i，π(i)，1<=i<=n}的最大不相交子集。
【输入形式】
输入文件第一行为整数n；第二行为用一个空格隔开的n个整数，表示π(i)。
【输出形式】
输出文件第一行为最多的连线数m，第2行到第m+1行输出这m条连线（i，π(i)）。
【输入样例】
10
1 8
2 7
3 4
4 2
5 5
6 1
7 9
8 3
9 10
10 6
【输出样例】
4

思路如下：

比较基础的动态规划问题，设a[i][j]为上端接线柱i与下端接线柱j前的最大不相交子集，则：

1. 若i与j不相连，则i与j前的最大不相交子集等于i与j - 1前或i - 1与j前的最大不相交子集的最大值，
   即a[i][j] = max(a[i][j - 1], a[i - 1][j])
2. 若i与j相连，则i与j前的最大不相交子集等于i - 1与j - 1前的最大不想交子集加1，
   即a[i][j] = a[i - 1][j - 1] + 1

java代码：

import java.util.Scanner;public class CircuitLayout {    public static void main(String[] args) {       Scanner scanner=new Scanner(System.in);       int n=scanner.nextInt();       int y[]=new int[n+1];       int a[][]=new int[n+1][n+1];//a[i][j]表示上端接线柱i与下端接线柱j前的最大不相交子集       for(int i=1;i<=n;i++){           int j=scanner.nextInt();           y[j]=i;       }           dp(y,a,n);       for(int i=1;i<=n;i++)       {           for(int j=1;j<=n;j++)               System.out.println(a[i][j]+"   ");           System.out.println();       }       System.out.println(a[n][n]);    }    private static void dp( int[] y, int[][] a, int n) {            for(int i=1;i<=n;i++){                for(int j=1;j<=n;j++)                {                    if(y[i]==j)                        a[i][j]=a[i-1][j-1]+1;                    else                         a[i][j]=max(a[i-1][j],a[i][j-1]);                }            }    }    private static int max(int a,int b) {      return a>b?a:b;    }}