电路布线问题的几种动态规划算法

/*  Name:   Copyright:   Author:巧若拙   Date: 01-04-17 07:48  Description: 电路布线【问题描述】在一块电路板的上、下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线（i，π(i)）将上端接线柱i与下端接线柱π(i)相连。其中，π(i)，1<=i<=n是{1，2，…，n}的一个排列。导线（i，π(i)）称为该电路板上的第i条连线。对于任何1<=i π(j)。在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层上的连线不相交。你的任务是要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。换句话说，就是确定导线集Nets={ i，π(i)，1<=i<=n}的最大不相交子集。【输入形式】输入文件第一行为整数n；第二行为用一个空格隔开的n个整数，表示π(i)。【输出形式】输出文件第一行为最多的连线数m，第2行到第m+1行输出这m条连线（i，π(i)）。【输入样例】101 82 73 44 25 56 17 98 39 1010 6【输出样例】4算法1：int MNS(int i, int j);//自顶向下的备忘录算法设置一个备忘录数组s[N+1][N+1]，s[i][j]表示从上接线柱1-i发出的导线连接到下接线柱1-j，能生成的不相交导线的最大条数。 利用原问题的递归关系，使用递归函数来求解。状态方程：当i=1时，s[1][j] = (j<c[1]) ? 0 : 1;当i>1时，若j<c[i]，则s[i][j] = s[i-1][j]; 否则s[i][j] = max(s[i-1][c[i]-1]+1, s[i-1][j]);算法2：int MNS_2(int n);//自底向上的动态规划算法 从i=1开始，依次记录每一个s[i][j]，最后获得最优解s[N][N]。算法3：int MNS_3(int n);//优化的动态规划算法 是对算法2的优化，算法2中用到的备忘录数组s[N+1][N+1]占空间较大，实际上下一行数据是利用上一行的数据生成的，与更早的数据没有关系，于是可以用两个一维数组pre[N+1]和cur[N+1]代替s[N+1][N+1]。最后写了一个函数void Traceback(int n); //输出满足条件的导线 该函数需要用到备忘录数组s[N+1][N+1]，故只能对算法1和算法2产生的结果有效。 算法4：与算法2相似，但思路更清晰明了的一种算法。算法的逻辑，与最长公共子序列很相似。 设a[i][j]为上端接线柱i与下端接线柱j前的最大不相交子集，则：若i与j相连，则a[i][j] = a[i-1][j-1] + 1 若i与j不相连，则a[i][j] = max(a[i][j-1], a[i-1][j])说明：算法2虽然代码更复杂，但是它做了分类判断，减少了很多不必要的计算，效率更高。  算法5：对算法4的改进：分阶段讨论，避免不必要的计算。与算法2相类似，对下端的接线柱j进行了分段讨论：分成j<c[i], j==c[i]和j>c[i]三个区间，分别求a[i][j]的值，效率更高。 算法6：int MNS_4(int n);//将问题转化为求最长不下降序列注意到电线上端的接线柱已经按顺序排列，问题可以转化为求数组c[N+1]的最长不下降序列 */#include<iostream>#include<string>using namespace std;int MNS(int i, int j);//自顶向下的备忘录算法int MNS_2(int n);//自底向上的动态规划算法 void Traceback_1(int n); //输出满足条件的导线 void Traceback_2(int n); //输出满足条件的导线 void Traceback_3(int n); //输出满足条件的导线 int MNS_3(int n);//优化的动态规划算法 int MNS_4(int n);//另一种思路的动态规划算法 int MNS_5(int n);//对算法4的改进：分阶段讨论，避免不必要的计算 int MNS_6(int n);//将问题转化为求最长不下降序列const int N = 10;int c[N+1] = {0,8,7,4,2,5,1,9,3,10,6};int s[N+1][N+1];int a[N+1][N+1];int b[N+1][N+1];int pre[N+1]; //上一行记录int cur[N+1]; //当前行记录 int S[N+1]; //记录到元素i为止的最长上升子序列的长度 int main(){      cout << MNS(N, N) << endl;    cout << MNS_2(N) << endl;    cout << MNS_3(N) << endl;    cout << MNS_4(N) << endl;    cout << MNS_5(N) << endl;    cout << MNS_6(N) << endl;    Traceback_1(N);    Traceback_2(N);    Traceback_3(N);        return 0;  }  int MNS(int i, int j)//自顶向下的备忘录算法 { if (s[i][j] > 0)    return s[i][j];        if (i == 1) //处理第一根导线     {        s[i][j] = (j < c[i]) ? 0 : 1;    }    else    { s[i][j] = MNS(i-1, j); if (j >= c[i] && MNS(i-1, c[i]-1)+1 > s[i][j])    s[i][j] = s[i-1][c[i]-1] + 1; //s[i-1][c[i]-1]在if语句中记录过了 }return s[i][j];}int MNS_2(int n)//自底向上的动态规划算法 { //先处理第一根导线 for (int j=1; j<c[1]; j++) s[1][j] = 0;    for (int j=c[1]; j<=n; j++) s[1][j] = 1; //然后处理中间的导线    for (int i=2; i<n; i++)    { for (int j=1; j<c[i]; j++) { s[i][j] = s[i-1][j];}for (int j=c[i]; j<=n; j++){ s[i][j] = (s[i-1][c[i]-1]+1 > s[i-1][j]) ? s[i-1][c[i]-1]+1 : s[i-1][j]; }}//再处理最后一根导线s[n][n] = (s[n-1][c[n]-1]+1 > s[n-1][n]) ? s[n-1][c[n]-1]+1 : s[n-1][n]; return s[n][n];}void Traceback_1(int n) //输出满足条件的导线 {    int j = n;    for (int i=n; i>1; i--)    { if (s[i][j] > s[i-1][j]) {cout << i << " - " << c[i] << endl;            j = c[i] - 1;        }}if (j >= c[1]){        cout << 1 << " - " << c[1] << endl;    }}void Traceback_2(int n) //输出满足条件的导线 {    int j = n;    for (int i=n; i>1; i--)    { if (a[i][j] > a[i-1][j]) {cout << i << " - " << c[i] << endl;            j = c[i] - 1;        }}if (j >= c[1]){        cout << 1 << " - " << c[1] << endl;    }}void Traceback_3(int n) //输出满足条件的导线 {    int j = n;    for (int i=n; i>1; i--)    { if (b[i][j] > b[i-1][j]) {cout << i << " - " << c[i] << endl;            j = c[i] - 1;        }}if (j >= c[1]){        cout << 1 << " - " << c[1] << endl;    }}int MNS_3(int n)//优化的动态规划算法 { //先处理第一根导线 for (int j=1; j<c[1]; j++) pre[j] = 0;    for (int j=c[1]; j<=n; j++) pre[j] = 1; //然后处理中间的导线    for (int i=2; i<n; i++)    {   //处理当前行cur  for (int j=1; j<c[i]; j++) { cur[j] = pre[j];}for (int j=c[i]; j<=n; j++){ cur[j] = (pre[c[i]-1]+1 > pre[j]) ? pre[c[i]-1]+1 : pre[j];}//复制当前行信息cur到pre for (int j=1; j<=n; j++) { pre[j] = cur[j];} } //再处理最后一根导线cur[n] = (pre[n-1]+1 > pre[n]) ? pre[n-1]+1 : pre[n];return cur[n];}int MNS_4(int n)//另一种思路的动态规划算法，与最长公共子序列很相似 {    for (int i=1; i<=n; i++)    { for (int j=1; j<=n; j++) {if (j == c[i]) a[i][j] = a[i-1][j-1] + 1; else a[i][j] = max(a[i-1][j], a[i][j-1]);}}return a[n][n];}int MNS_5(int n)//对算法4的改进：分阶段讨论，避免不必要的计算 {    for (int i=1; i<=n; i++)    {for (int j=1; j<c[i]; j++)//在接线柱c[i]的左侧区域，最优解与不包含接线柱i的一致  {b[i][j] = b[i-1][j];}b[i][c[i]] = b[i-1][c[i]-1] + 1; for (int j=c[i]+1; j<=n; j++)//在接线柱c[i]的右侧区域，最优解可能包含接线柱i，也可能不包含i  {b[i][j] = max(b[i-1][j], b[i][j-1]);}}return a[n][n];}int MNS_6(int n)//将问题转化为求最长不下降序列{S[1] = 1; //默认到元素i为止的最长上升子序列的长度为1 for (int i=2; i<=n; i++){int m = 0;for (int j=i-1; j>0; j--)//逆序查找不大于A[i]，且最长的元素{if (c[i] > c[j] && S[j] > m){m = S[j];}}S[i] = m + 1;}int len = S[n]; for (int i=n-1; i>0; i--){if (S[i] > len){len = S[i];}}return len;}