【MOOC】数字信号处理-电子科技大学-第六&七周
来源:互联网 发布:aⅴ淘宝2016 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 17:09
1 DFT的定义
假设序列x[n]有N个点,其 N点 DFT的定义如下:
值得注意的是:DFT得到的频域的序列也是离散的。
将上面两式写成矩阵形式,则有:
对于正变换:
对于反变换:
在推导关系式时,经常需要用到的关系式:
2 DFT与DTFT的关系
通过采样从DTFT得到DFT
已知DTFT的正变换为:
对比DFT的变换式:
可知:N点DFT 就是 对DTFT以采样间隔为 2*pi/N 得到的具有N个离散点的信号。
注意:这里我们讨论的N点DFT的N 是与原序列x[n]这个有序序列中值的个数N是一样的。
下面就有M个离散点的有序序列x[n]进行的N点DFT进行讨论:
对x[n]的DTFT变换结果为:
对DTFT结果以采样间隔为 2*pi/N 得到的信号为:
对Y[K]进行N点DFT反变换:
即
又因
则经过上面的操作还原出来的原信号:
那么接下来就要比较y[n]和x[n]这两个信号的区别,看看什么情况下y[n]会和x[n]不一致。
观察y[n]的表达式,y[n]是将x[n]进行长度为N的周期化后取 0 ->N-1的结果,可发现:
对于具有M个离散点的有序长序列x[n]:
1.若M<=N,周期化后的结果没有影响y[n],则y[n]=x[n](n=0、1、… 、N-1)
2.若M > N,则“还原”的信号y[n]不是原信号x[n],前者实际会出现时域的混叠现象。
下面就第二种情况举个例子:
通过插值从DFT得到DTFT
证明过程:
其中
因此,DTFT可通过内插函数从DFT中唯一得到。
DFT与DFS、DFS(离散傅里叶级数)与DTFT的关系
从上图可以看到:
DFS是对DTFT进行频域的离散采样得到的,其反变换得到的时域信号是离散周期的。
而N点DFT对应的变换中:其对应的时域和频域信号均是对DFS取一个周期N个点的信号。
CTFT、FS、DTFT、DFS在时域的周期性和连续性(离散性):
3 有限长序列的运算
圆周移位
实例:
圆周反转
圆周卷积
矩阵形式如下:
实例:
另外一种求圆周卷积的方法:
圆周共轭:对称与反对称
4 DFT的性质
实例:
这部分都是概念性的东西,所以就直接贴上PPT了。
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