三分学习（解决凸函数or凹函数的极值）

思想转载自：http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/9666627

如果遇到凸性或凹形函数时，可以用三分查找求那个凸点或凹点。


如图所示，已知左右端点L、R，要求找到白点的位置。
思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围，无限逼近白点。
做法：先取 [L,R] 的中点 mid，再取 [mid,R] 的中点 mmid，通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。
           当最后 L=R-1 时，再比较下这两个点的值，我们就找到了答案。
1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候，我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。
反证法：假设 mmid 在白点的左边，则 mid 也一定在白点的左边，又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid，与已知矛盾，故假设不成立。
所以，此时可以将 R = mmid 来缩小范围。
2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候，我们可以断定 mid 一定在白点的左边。
反证法：假设 mid 在白点的右边，则 mmid 也一定在白点的右边，又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid，与已知矛盾，故假设不成立。


同理： 当求凹点的时候，当f(m) >  f(mm)的时候 ,L =m;
                                             当f(m) < f(mm) 的时候，R = mm;证明与上面一般；

zoj3203:

题意：

人左右走动，求影子L的最长长度。

思路：求最长的影子长度；

设x为人灯光垂直线的距离，那么有两个边界，一个是当影子刚好射到墙角的时候，即x = h / H * D ，一个是全都投射到墙上的情况即x = D;

这个肯定在中间的某个位置最长，利用calc（x）公式求出最长的长度，calc公式推导如下：

可以得出L=  H - D * (H - h)/x +D -x,不过得注意x的起点是从h / H * D 开始的；

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<vector>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn = 100000 + 10;#define INF 0x7fffffff#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))typedef long long ll;#define eps 10e-10double H,h,D;double calc(double x){    return H - D * (H - h)/x +D -x;}int main(){    int Tcase;    scanf("%d",&Tcase);    while(Tcase --)    {        scanf("%lf%lf%lf",&H,&h,&D);        double l = D - h /H * D,r = D;        while(l + eps < r)        {            double m = (l + r) / 2, mm = (m + r) /2;            if(calc(m) < calc(mm))            {                l = m;            }            else            {                r = mm;            }        }        printf("%.3lf\n",calc(l));    }    return 0;}

当然还有数学方法可以解决这个题：

公式为：L = H + D - ((H - h)*D /x + x)，你会发现这就是一个双勾函数，只要把这个函数的最小值，L的最大值就能求出来了，双勾函数的性质，对于一个双勾函数： a*x + b / x .（a> 0 && b > 0）

然后判断一下边界取出最小值代入得到最大值。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<vector>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn = 100000 + 10;#define INF 0x7fffffff#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))typedef long long ll;#define eps 10e-10double H,h,D;double calc(double x){    return H + D - ((H - h)*D /x + x);}int main(){    int Tcase;    scanf("%d",&Tcase);    while(Tcase --)    {        scanf("%lf%lf%lf",&H,&h,&D);        double xm = sqrt(D*(H - h));        double l = D - h / H * D,r = D;        double ans;        if(l <= xm && r >= xm)            ans = calc(xm);        else if(xm < l)            ans = calc(l);        else ans = calc(r);        printf("%.3lf\n",ans);    }    return 0;}

HDU 2438

题意：已知汽车的长和宽，l和w，以及俩条路的宽为x和y，汽车所处道路宽为x ，问汽车能否顺利转弯？


分析：汽车能否顺利转弯取决于在极限情况下，随着角度的变化，汽车离对面路的距离是否大于等于0

在上图中需要计算转弯过程中h 的最大值是否小于等于y


很明显，随着角度θ的增大，最大高度ｈ先增长后减小，即为凸性函数，可以用三分法来求解


如图中:

这题转载自http://www.cnblogs.com/nanke/archive/2012/02/12/2348041.html

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<vector>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn = 1000000 + 10;#define INF 0x7fffffff#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))typedef long long ll;#define eps 10e-10double x,y,l,w;double calc_h(double angle){    double s = l * cos(angle) + w *sin(angle) - x;    return s * tan(angle) + w * cos(angle);}int main(){    while( ~ scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&l,&w))    {        double L = 0,R = acos(-1.0)/2;        while(L + eps < R)        {            double m = (L + R) / 2,mm = (m + R)/2;            if(calc_h(m) < calc_h(mm))            {                L = m;            }            else R = mm;        }        double max_h = calc_h(L);        if(max_h <= y)        {            cout << "yes" << endl;        }        else cout << "no" << endl;    }    return 0;}