递推——Codeforces 319A

• 链接：http://codeforces.com/problemset/problem/319/A

• 题意：给出一个长度为n的01串表示一个数 x，现在有2支队伍A，B分别有 2n 个队员，标号为 0，1，2，...，2n−1 , A中标号为 i 的队员和B中标号为 ix 的队员配对，求这些配对的复杂度，即所有配对中满足 在配对<a，b>和<c，d>有a<c，b>d ， 的配对组有多少组。简化为求逆序数对的个数。

• 分析：我们可以从 01 串入手，当n=1的时候，如果是单个0，复杂度为0；如果是单个1，复杂度为1。进一步思考：如果在一个长度为 n 的01串表示为 x 后增加一个0的话，即增加了 2n 个配对，又最后这个0是不会改变标号的最高位的数字的值，那么相当于与这一位异或不会影响到原来数的大小顺序，即对对应标号的大小无影响，所以新增加的2n个配对的复杂度还是和前面的01串有关，即新增加的配对的复杂度等于前n个01串的结果，然后总的复杂度*=2；如果在它后面增加一个1的话，首先还是和0一样，新增加的 2n个配对中内部的复杂度还是和前面的复杂度一样，但是由于最高位为1，所以导致之前2n个配对和之后2n个配对构成新的逆序关系，即增加了2n个逆序数

• 递推关系：

if(str[0]=='0') DP[0] = 0;else DP[0] = 1;for(int i=1;i<len;i++){    if(str[i]=='0') DP[i] = 2*DP[i-1]%mod;    else DP[i] = (2*DP[i-1]%mod + PowerMod(2, 2*i, mod))%mod;}

• AC代码：

/*************************************************************************    > File Name: test.cpp    > Author: Akira     > Mail: [e-mail]  ************************************************************************/#include<bits/stdc++.h>typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;typedef long double LD;#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define CLR(a) MST(a,0)#define Sqr(a) ((a)*(a))using namespace std;#define MaxN 100001#define MaxM MaxN*10#define INF 0x3f3f3f3f#define PI 3.1415926535897932384626const int mod = 1E9+7;const double eps = 1e-6;#define bug cout<<88888888<<endl;#define debug(x) cout << #x" = " << x << endl;string str;int DP[110];LL PowerMod(LL a, LL b, LL c) {    int ans = 1;    a = a % c;    while(b>0)    {        if(b % 2 == 1) ans = (ans * a) % c;        b = b/2;        a = (a * a) % c;    }    return ans;}int main(){    //std::ios::sync_with_stdio(false);    while(cin >> str)    {        std::reverse(str.begin(), str.end());        CLR(DP);        int len = str.length();        if(str[0]=='0') DP[0] = 0;        else DP[0] = 1;        for(int i=1;i<len;i++)        {            if(str[i]=='0') DP[i] = 2*DP[i-1]%mod;            else DP[i] = (2*DP[i-1]%mod + PowerMod(4, i, mod))%mod;        }        printf("%d\n", DP[len-1]%mod);        //for(int i=len-1;i>=0;i--) cout << DP[i] << endl;    }    //system("pause");}