【费马小定理求逆元】51nod 1119 LightOJ 1067

来源：互联网发布：淘宝的二级词怎么定义编辑：程序博客网时间：2024/06/05 14:58

费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

x = (1/a) (mod p) => ax = 1 (mod p)

a^(p-1) = 1(mod p) => a*a^(p-2) = 1(mod p)

x=a^(p-2)

1119 机器人走方格 V2

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 10 难度：2级算法题

M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

Input

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)

Output

输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

Input示例

2 3

Output示例

/*51nod1119高中组合数学路径问题https://wenku.baidu.com/view/d14e4482ff00bed5b8f31d28.html题意：求C(n+m-2,n-1)%1e9+72<=n,m<=1e6思路：(n-1)! (m-1)! 跟1e9+7互质因为数据范围1e6，所以能预处理出n范围内的阶乘如果数据范围是1e9就gg了费马小定理求逆元*/#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const LL mod=1e9+7;const int maxn=2e6+10;LL f[maxn];void Init()//f[n] 预处理n!{    f[0]=1;    f[1]=1;    for(int i=1;i<=2e6;i++)        f[i]=f[i-1]*i%mod;}LL quickpow(LL x,LL n)//快速幂x^n{    LL ans=1;    while(n)    {        if(n&1)            ans=(ans*x)%mod;        x=(x*x)%mod;        n>>=1;    }    return ans;}LL C(LL n,LL m)//C(n+m-2,n-1)=(n+m-2)!/(n-1)!*(m-1)!{    LL ans=f[n+m-2];    ans=ans*quickpow(f[n-1],mod-2)%mod;//乘以逆元    ans=ans*quickpow(f[m-1],mod-2)%mod;    return ans%mod;}int main(){    LL n,m;    Init();    scanf("%lld%lld",&n,&m);    printf("%lld\n",C(n,m));    return 0;}

/*LightOJ 1067题意：求C(n,m);1<=n,m<=1e6gcd((n-m)!,mod)=1 gcd(m!,mod)=1符合费马小定理的条件*/#include <iostream>#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const int mod=1e6+3;const int maxn=1e6+10;LL f[maxn];void Init(){    f[0]=1;    for(int i=1; i<=1e6; i++)        f[i]=i*f[i-1]%mod;}LL quickpow(LL x,LL n){    LL ans=1;    while(n)    {        if(n&1)            ans=ans*x%mod;        x=x*x%mod;        n>>=1;    }    return ans;}LL C(LL n,LL m){    LL ans=f[n];    ans=ans*quickpow(f[m],mod-2)%mod;    ans=ans*quickpow(f[n-m],mod-2)%mod;    return ans;}int main(){    LL n,m;    int t;    Init();    scanf("%d",&t);    for(int cas=1;cas<=t;cas++)    {        scanf("%lld%lld",&n,&m);        printf("Case %d: %lld\n",cas,C(n,m));    }    return 0;}

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