51nod 1119 机器人走方格 V2(费马小定理+快速幂 求逆元)

1119 机器人走方格 V2

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 10 难度：2级算法题

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M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

Input

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)

Output

输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

Input示例

2 3

Output示例

3

题解：一直不会逆元，借这道题了解了解逆元。 这里利用费马小定理+快速幂 求逆元。还是很好理解的啊。

因为 1e9+7 是质数，质数与任何数都是互质的，所以这里可以使用费马小定理。 由题意，我们需要求得 (a/b) % M

的值。  由费马小定理得到 如果 b与M 互质，则有 b^(M-1) ≡ 1(mod M)  , 所以 有 b*b^(M-2) ≡ 1(mod M) 。

所以 (a/b) mod M = (a/b) * (b*b^(M-1)) mod M = (a*(b^(M-2) ) ) mod M 。 然后利用快速幂快速得到 b^(M-2)的值就可以了。

代码如下：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 1000000+5;const int mod = 1e9+7;typedef long long LL;LL f[maxn*2];void init(){f[0]=1;f[1]=1;for(int i=2;i<maxn*2;++i)f[i] = (f[i-1]*i) % mod;}LL pow_quick(LL n,LL m){LL res=1;while(m>0){if(m&1)res = (res*n) % mod;n = (n*n) % mod;m>>=1;}return res;}void slove(int n,int m){LL ans = f[n+m-2];ans = (ans * pow_quick(f[n-1],mod-2)) % mod;ans = (ans * pow_quick(f[m-1],mod-2)) % mod;printf("%lld\n",ans);}int main(){init();int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){slove(n,m);}return 0;}