【浅谈轮廓线DP】BZOJ1087(SCOI2005)[互不侵犯King]题解

题目概述

在N*N的棋盘上放K个国王，使国王互不攻击，求方案数。

解题报告

貌似是我做的第一道轮廓线DP（虽然是自己想出来的转移方程，但是还是看了一句话题解才知道是轮廓线DP，果然还是太弱了），轮廓线DP应该是一种比较特殊的状压DP，非常适用于棋盘统计问题。

轮廓线DP的想法差不多是这样的：

当前处理到(i,j)，且(i,j)的决策只会受到蓝色方格的影响，不会受到其他影响。假设包括(i,j)在内的最后n个格子（红色框方格）的状态为k，则蓝色方格的状态就是包括(i,j-1)在内的最后n个格子的状态。
那么我们可以定义这样一个DP：f[i][j][k]表示目前处理到(i,j)，最后n个格子状态为k的方案数。一般处理的时候，都会将f[i][j][k]改为f[cur][k]（滚动数组）以减小空间开销。
由此可见轮廓线DP适用于列宽比较小的棋盘统计问题（否则k会炸掉）。

那么这道题就是一道棋盘统计问题（而且列宽不大），可不可以用轮廓线DP做呢？当然是可以的！只不过这道题限制了放K个，所以要加一维，f[cur][k][t]表示当前已经放了t个国王的方案数。

影响(i,j)的就是如图的这些蓝色方格。假设上一状态为f[cur^1][k][t]，当前状态为f[cur][now/now+1][t/t+1]（now等于k干掉第一位后向左移动一位，结合一下图就很容易理解了），则：
①当(i,j)不放的时候
f[cur^1][k][t]可以直接推到f[cur][now][t]。
②当(i,j)放的时候
必须满足如下情况且t＜K才能推到f[cur][now+1][t+1]：

有了想法就很简单了，再注意下一些细节就行了。

时间复杂度为O(2n+1∗n2∗K)。

示例程序

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;typedef long long LL;const int maxk=81,maxt=1<<10;int n,K;LL f[2][maxt][maxk+5],ans;int getnxt(int k) {if (k&(1<<n)) k-=1<<n;return k<<1;} //取k状态的下一状态bool check(int i,int j,int k) //检查k状态下(i,j)是否可以放国王{    if (i&&j&&(k&(1<<n))) return false; //(i,j)左上方有国王    if (i&&(k&(1<<n-1))) return false; //(i,j)上方有国王    if (i&&j<n-1&&(k&(1<<n-2))) return false; //(i,j)右上方有国王    if (j&&(k&1)) return false; //(i,j)左边有国王    return true;}int main(){    freopen("program.in","r",stdin);    freopen("program.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&n,&K);    int cur=0;f[0][0][0]=1;    for (int i=0;i<n;i++)    for (int j=0;j<n;j++)    {        cur^=1;memset(f[cur],0,sizeof(f[cur])); //滚动数组        for (int k=0;k<(1<<n+1);k++)        for (int t=0;t<=K;t++)        {            int now=getnxt(k);            f[cur][now][t]+=f[cur^1][k][t];            if (t<K&&check(i,j,k)) f[cur][now+1][t+1]+=f[cur^1][k][t];        }    }    for (int k=0;k<(1<<n+1);k++) ans+=f[cur][k][K]; //统计答案    printf("%lld\n",ans);    return 0;}