生成树计数（草稿）

生成树计数

这两天阴差阳错的研究了邹等周冬前辈的两篇论文～～

理论

图的关联矩阵

对于无向图 G ，我们定义它的关联矩阵 B 是一个 n×m 的矩阵，并且满足：如果 ek=(vi,vj) ，那么 Bik 和 Bjk 一个为 1 ，另一个为−1 ，而第 k 列其它元素均为 0 。

举例说明：

对于此图 G ，其矩阵如下：

⎡⎣⎢⎢1−10−1010−11⎤⎦⎥⎥

Kirchhoff 矩阵

为研究 B 的性质，我们需要考察一下 B 与 B 的转置矩阵（把矩阵 A 的行换成相应的列，得到的新矩阵称为 A 的转置矩阵，记作 AT ） BT 的乘积，根据矩阵乘法法则，我们可以得到：

BBTij=∑k=1mBikBTkj=∑k=1mBikBjk

可以发现：

• i=j 时， BBTij=vi的度数
• i≠j 时
  
  • 如果存在 e(vi,vj) ，那么 BBTij=−1
  • 否则 BBTij=0

BBTij 即为图的 Kirchhoff 矩阵

对于无向图 G ，它的 Kirchhoff 矩阵 C 定义为它的度数矩阵 D 减去他的邻接矩阵 A 。

Matrix-Tree 定理

本体

对于一个无向图 G ，他的生成树个数等于其 Kirchhoff 矩阵任何一个 n−1 阶主子式的行列式的绝对值。

n−1 阶主子式：任取一个 r ，将 C 的第 r 行和第 r 列同时删去后的新矩阵，用 Cr 表示。

证明

以后再说……

应用

[bzoj1002]轮状病毒[FJOI2007]

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题目描述

轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个 N 轮状基由圆环上 N 个不同的基原子和圆心处一个核原子构成的， 2 个原子之间的边表示这 2 个原子之间的信息通道。如下图所示：

N 轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有 16 个不同的 3 轮状病毒，如下图所示

现给定 N( N≤100 )，编程计算有多少个不同的 N 轮状病毒

输入格式

第一行有 1 个正整数 N

输出格式

计算出的不同的 N 轮状病毒数输出

样例输入

3

样例输出

16

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这道题是一道很明显地在考察 Matrix-Tree 定理，但是我们不能直接用程序计算，这样会超时，我们可以应用此定理推出一个递推式：

f[i]=3×f[i−1]−f[i−2]+2

然后本题并没有让我们取模输出，故要用到高精度。

其实还可以用矩阵快速幂再优化一下递推，不过没加就 AC 了十年前的省选还是简单啊

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int MAXN=105;int n;struct BN{    int num[105],len;    BN(){memset(num,0,sizeof(num));len=-1;}    void adjust()    {        for(int i=0;i<=len;i++)        if(num[i]>9)        {            num[i+1]+=num[i]/10;num[i]%=10;            len=max(len,i+1);        }        for(int i=0;i<=len;i++)        if(num[i]<0)        {            num[i-1]-=(-num[i])/10;num[i]=10-((-num[i])%10);        }        while(!num[len]) len--;    }    BN operator * (int x)const    {        BN res=*this;        for(int i=0;i<=len;i++) res.num[i]*=x;        res.adjust();        return res;    }    BN operator + (int x)const    {        BN res=*this;        for(int i=0;i<=len||x;i++) res.num[i]+=x%10,x/=10;        res.adjust();        return res;    }    BN operator - (BN x)const    {        BN res;        for(int i=0;i<=max(len,x.len);i++) res.num[i]-=x.num[i];        res.adjust();        return res;    }} f[MAXN];int main(){    int i;    scanf("%d",&n);    f[1]=BN()+1;f[2]=BN()+5;    for(i=3;i<=n;i++)        f[i]=f[i-1]*3-f[i-2]+2;    for(i=f[n].len;i>=0;i--) putchar(f[n].num[i]+'0');    printf("\n");    return 0;}