[.py]寻找第n个默尼森数（初级版）

经典程序设计问题：找第n个默尼森数。

P是素数且M也是素数，并且满足等式M=2^P-1，则称M为默尼森(monisen)数。

例如，P=5，M=2**P-1=31，5和31都是素数，因此31是默尼森数。

本题要求input一个值k（k<9），输出第k个默尼森数

输入样例：4

输出样例：127

问题分析

按照自底向上的编程思想，要实现问题，则需要有以下几个部分：
判断一个数x是否为素数；
已知x为素数时，判断2^x-1是否为素数；
已知2^x-1是素数，则可知它是默尼森数，要知道它是第几个默尼森数；

其实为了简化问题，把k设置成了只计算前8个monisen数，因为实际上第8个monisen数是2^32-1，是signed int型数的可表示的最大值，写好了程序如果要计算更大的数，需要换用其它的数据格式，所以这里为了仅强调计算方法而不考虑更大的monisen数。

可以先试一下简单的情况：素数数列前几项k=[2,3,5,7,11,13,...]，对应的2^k-1值是[3,7,31,127,2047,8191,...]，其中前4项[3,7,31,127]都是默尼森数，而2047，8191不是质数，就不是默尼森数。

所以可以这样设计：

程序描述：

#输出第num个默尼森数
monisen(num):
若num<1，应报告ERROR
k=0
i=1
while(k<num):
t是第i个素数
i+=1
如果，2^t-1也是素数，则：
计数器k+=1;

跳出while循环时，k=num,直接输出2^t-1的值,即为第num个monisen数

概要设计

有了程序的描述，我们看到，monisen(num)是由这样几个主要函数组合而得：prime(num)，输出第num个素数；isPrime(x)，判断x是否为素数
要得到第num个素数，应先有isPrime(x)函数做判断
由数论的知识，要判断一个整数x是否为素数，就要用x对从2到sqrt(x)之间的素数取余，若余数全不为0，则x就是素数，否则只要有任何一个为0，那么x就不是素数。
这里有两点需要思考，除数序列是从2到sqrt(x)之间的素数，那么序列上限选sqrt(x)是否有必要，二是选择这其中这素数是否有必要，因为若选择不恰当就会影响运行速度。
首先是上限选择，若选sqrt(x)意味着要计算sqrt函数，如果允许使用库函数的话，在python中可以调用math.sqrt(x)即可，因为这是循环的上限。如果不能调用库函数，则要自己另外编sqrt(x)的函数，嫌麻烦可以直接省去，，取序列的上限为x-1即可。
另外，是否有必要真的选取这个序列中的素数呢，这个一般是不需要的。假设我们真用一个素数序列来判断，那么我们要先生成从2到int(sqrt(x))的所有素数的列表，再从这个列表里选出每一项分别比对，若判断x是素数，又要把这个素数加到列表里。程序的运行效率没有显著提升多少，却使编写程序的工作量大大增加，所以这是不太合算的。

综上，判断x是否是素数，可以先和2取余，若得0，说明它是偶数，就一定不是质数。若它与2取余为1，则再从3到sqrt(x)的step=2的序列里做取余判断，只要当中有一步是0，就立即返回False结束循环，然后在循环出口处返回True，说明走遍全部的序列都没有余0的情况，它是一个素数。

import mathdef isPrime(num):k=int(math.sqrt(num))if (i % 2 == 0) :return Falsefor i in range(3,k+1,2):if (num % i ==0):return Falsereturn True

那么有了isPrime函数，得到第i个素数的函数prime(num)就不难实现。令初始化k为计数器，num=1时直接输出2，然后从3开始依次找奇数，如果这个奇数t是素数，则给计数器k自增1，直到计数器k的值等于num时，输入这个数t就是第num个素数。

def prime(num):if num==1: return 2k=1i=1while(k<num):i+=2if(isPrime(i)==True):k+=1return i

这样有了函数的定义，寻找默里森数就可以完成了，根据程序描述，写出morisen(num)的python代码

def monisen(no):k=0i=1t=0while(k<no):t=prime(i)if(isPrime(2**t-1)==True):k+=1i+=1return 2**t-1

程序设计

主程序可以只有一条，就是输入一个数k，输出第k个默尼森数，那么就是把k传到monisen()函数里就行，因为monisen()函数接收的参数就是第k个默尼森数

print(monisen(input()))

反思与评价

程序有哪些细节需要注意？

1.python里当用range时，它是有多种表示类型的，最完整的是range([start=0,]end[,step=1)，也就是只有一个变量的话是end值，初值缺省值为0。只写前2个参数则表示步长为1的从start到end的序列。但要注意的一点是，range()序列是取不到终值end的，也就是它的序列x是在start<=x<end当中取得，所以在isPrime()中用到range(3,k+1,2)，实际上x的取值就是3<=x<=k

2.range()函数的参数需要是整数，而math.sqrt()返回值是float，所以要先类型转换，转换成int再在range()函数里使用。

程序是否可以改进，以提高运算速度？

关键在于prime(num)函数，它是求第num个素数，每调用一次它，就要做一趟循环，去求出第1个素数，第2个素数，第3个素数，...第num个素数，而每次要求一个素数时，又要去调用isPrime(k)，它也是一个循环。仔细想来，求第n个素数时，前n-1个已经在上一趟循环里求过了，但是程序没留下来，我们可以用列表把前已经求过的素数放在列表里，而不需要每次再从头求一遍。不过对于此问题来说，数据规模较小，此处影响不太大。但是要成为专业的程序员的话，就一定要试着优化它