二分图的概念汇总

二分图概念汇总--


二分图：是这样一个图，其顶点可分为两集合X和Y，所有的边关联的两顶点中，恰一个属于Ｘ，另一个属于Ｙ。同一集合的结点不相邻。

匹配：图的一个匹配是一些边的集合，任意两条边没有公共点。

最大匹配：包含边数最多的匹配。 (匈牙利算法)

完美匹配：所有点都在匹配边上的匹配。

完备匹配：在二分图中，X集合中的所有点都有对应的匹配或者是Y集合中的所有点都有对应的匹配。

最佳匹配：如果G为加权二分图,则权值和最大(最小)的完备匹配称为最佳匹配。 (KM算法)

带权匹配：二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。

最小点覆盖：用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的）让每条边都至少和其中一个点关联。即覆盖边。最少点数（即覆盖数）＝ 最大匹配数

最小路径覆盖：用尽量少的不相互交叉简单路径覆盖有向无环图Ｇ的所有结点(不交叉指的是原图，而非后来构造的二分图)。即覆盖点。建立一个二分图模型，把所有顶点i拆成两个：Ｘ集中的i和Y集中的i',如果有边i->j，则在二分图中引入边i->j'，结果就是最小路径覆盖 = N - 最大匹配数。（N为原图中结点数）

最大独立集：在N个点的图中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值．如果是二分图，则．最大独立集 = N - 最大匹配数。

完全子图：任意两点都相连的顶点的集合

最大完全数：最大完全子图中顶点的个数   最大完全数=原图的补图的最大独立数（补图中的独立集不正是相互都没有连边么，反过来说，它们在原图中不正是两两都有连边么）


最佳匹配和带权匹配的区分：二分图的带权匹配是不考虑是不是完备匹配，只要求最大或最小权匹配。而二分图的最佳匹配一定为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小，即最佳匹配必须在完备匹配的基础上找最大或最小权匹配。

KM算法的拓展：

KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，然后进行求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。

KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果想要求一个最大带权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0，再进行求最大权完备匹配即可。

KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后再求最大权和匹配，求得的结果ans再算出e^ans就是最大积匹配(在C++中e可以通过cmath头文件中的exp(1)来表示出来，同样此处的结果就是exp(ans))。但至于精度问题则没有更好的办法了。

kuangbin博客最后还提到："KM算法用来解决最大权匹配问题：在一个二分图内，左顶点集合为X，右顶点集合为Y，现对于每组左右连接X(i)Y(j)有权W(i,j)，求一种匹配使得所有W(i,j)的和最大。
也就是最大权匹配一定是完备匹配。如果两边的点数相等则是完美匹配。
如果点数不相等，其实可以虚拟一些点，使得点数相等，也成为了完美匹配。"

点数不相等的话可以虚拟一些点，使之成为完美匹配，还没遇到过。有待学习。

参考博文：

http://www.cnblogs.com/Dario67/archive/2011/04/19/2020621.html

http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/19/2646535.html