二分图与二分图匹配概念

一、二分图

二分图（Bipartite Graph）又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。如下图：

二、二分图匹配

匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配，无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。

完全匹配：如果一个子集的所有点都在匹配边上，则称这个最大匹配是完全匹配。特别地，若两个子集所有点恰好匹配（V1=V2）,则称为完美匹配。

未盖点：设Vi是G的一个顶点，如果Vi不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi是一个未盖点。 

交错轨：设P是图G的一条轨，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是交错轨。

可增广轨（增广路）：两个端点都是未盖点的交错轨称为可增广轨。  可增广轨的性质：

 1.P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

 2.P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M'。

 3.M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

 4.最大匹配数M+最大独立数N=总的结点数。

一般的图记为G=（V，E），V是顶点集合，E是边（也可称为线）的集合。在哥尼斯堡七桥问题中已领略过这种抽象。现在的二分图是一类特殊的图，只不过顶点集V划分为两部分，而这只能“跨越”于V1中某个点和V2中另一个点.二分图的匹配问题，就是找一个边的集合，这些边之间都没有公共的端点。

关于二分图的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一个边最多的匹配。求解二分图最大匹配常用的算法有匈牙利算法和最大流算法，进一步优化的有HK算法。