信号处理——Hilbert变换及谱分析
来源:互联网 发布:江苏省域名备案 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 11:13
原文链接
Hilbert通常用来得到解析信号,基于此原理,Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络,并求解信号的瞬时频率,但求解包括的时候会出现端点效应,本文对于这几点分别做了简单的理论探讨。
本文内容多有借鉴他人,最后一并附上链接。
一、基本理论
A-Hilbert变换定义
对于一个实信号
式中*表示卷积运算。
Hilbert本质上也是转向器,对应频域变换为:
即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号,又有:
即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数,因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。
对应解析信号为:
此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。
B-Hilbert解调原理
设有窄带信号:
其中
式中,
对
设
则解析信号可以重新表达为:
对比
由此可以得出:对于窄带信号
C-相关MATLAB指令
- hilbert
功能:将实数信号x(n)进行Hilbert变换,并得到解析信号z(n).
调用格式:z = hilbert(x)
- instfreq
功能:计算复信号的瞬时频率。
调用格式:[f, t] = insfreq(x,t)
示例:
12z = hilbert(x);
f = instfreq(z);
二、应用实例
例1:给定一正弦信号,画出其Hilbert信号,直接给代码:
clc
clear
all
close
all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
f = 50;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 信号变换
% 结论:sin信号Hilbert变换后为cos信号
y =
sin
(2*
pi
*f*t);
yh = hilbert(y);
% matlab函数得到信号是合成的复信号
yi =
imag
(yh);
% 虚部为书上定义的Hilbert变换
figure
subplot
(211)
plot
(t, y)
title
(
'原始sin信号'
)
subplot
(212)
plot
(t, yi)
title
(
'Hilbert变换信号'
)
ylim
([-1,1])
对应效果图:
例2:已知信号
分析:根据解包络原理知:
信号包络:
(1+0.5cos(2π5t)) (1+0.5cos(2π5t))瞬时频率:
2π50t+0.5sin(2π10t)2π 2π50t+0.5sin(2π10t)2π那么问题来了,实际情况是:我们只知道
x(t) x(t)的结果,而不知道其具体表达形式,这个时候,上文的推导就起了作用:可以借助信号的Hilbert变换,从而求解信号的包络和瞬时频率。
对应代码:
clear
all
;
clc
;
close
all
;
fs=400;
% 采样频率
N=400;
% 数据长度
n=0:1:N-1;
dt=1/fs;
t=n*dt;
% 时间序列
A=0.5;
% 相位调制幅值
x=(1+0.5*
cos
(2*
pi
*5*t)).*
cos
(2*
pi
*50*t+A*
sin
(2*
pi
*10*t));
% 信号序列
z=hilbert(x');
% 希尔伯特变换
a=
abs
(z);
% 包络线
fnor=instfreq(z);
% 瞬时频率
fnor=[fnor(1); fnor; fnor(
end
)];
% 瞬时频率补齐
% 作图
pos =
get
(
gcf
,
'Position'
);
set
(
gcf
,
'Position'
,[pos(1), pos(2)-100,pos(3),pos(4)]);
subplot
211;
plot
(t,x,
'k'
);
hold
on;
plot
(t,a,
'r--'
,
'linewidth'
,2);
title
(
'包络线'
);
ylabel
(
'幅值'
);
xlabel
([
'时间/s'
10
'(a)'
]);
ylim
([-2,2]);
subplot
212;
plot
(t,fnor*fs,
'k'
);
ylim
([43 57]);
title
(
'瞬时频率'
);
ylabel
(
'频率/Hz'
);
xlabel
([
'时间/s'
10
'(b)'
]);
其中instfreq为时频工具包的代码,可能有的朋友没有该代码,这里给出其程序:
对应的结果图为:
可以看到信号的包络、瞬时频率,均已完成求解。
例3:例2中信号包络为规则的正弦函数,此处给定任意形式的包络(以指数形式为例),并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率,并给出对应的Hilbert谱。
程序:
clc
clear
all
close
all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 原始信号
f1 = 10;
f2 = 70;
% a = cos(2*pi*f1*t); % 包络1
a = 2 +
exp
(0.2*f1*t);
% 包络2
% a = 1./(1+t.^2*50); % 包络3
m =
sin
(2*
pi
*f2*t);
% 调制信号
y = a.*m;
% 信号调制
figure
subplot
(241)
plot
(t, a)
title
(
'包络'
)
subplot
(242)
plot
(t, m)
title
(
'调制信号'
)
subplot
(243)
plot
(t, y)
title
(
'调制结果'
)
% 包络分析
% 结论:Hilbert变换可以有效提取包络、高频调制信号的频率等
yh = hilbert(y);
aabs =
abs
(yh);
% 包络的绝对值
aangle =
unwrap
(
angle
(yh));
% 包络的相位
af =
diff
(aangle)/2/
pi
;
% 包络的瞬时频率,差分代替微分计算
% NFFT = 2^nextpow2(N);
NFFT = 2^
nextpow2
(1024*4);
% 改善栅栏效应
f = fs*
linspace
(0,1,NFFT);
YH =
fft
(yh, NFFT)/N;
% Hilbert变换复信号的频谱
A =
fft
(aabs, NFFT)/N;
% 包络的频谱
subplot
(245)
plot
(t, aabs,
'r'
, t, a)
title
(
'包络的绝对值'
)
legend
(
'包络分析结果'
,
'真实包络'
)
subplot
(246)
plot
(t, aangle)
title
(
'调制信号的相位'
)
subplot
(247)
plot
(t(1:
end
-1), af*fs)
title
(
'调制信号的瞬时频率'
)
subplot
(244)
plot
(f,
abs
(YH))
title
(
'原始信号的Hilbert谱'
)
xlabel
(
'频率f (Hz)'
)
ylabel
(
'|YH(f)|'
)
subplot
(248)
plot
(f,
abs
(A))
title
(
'包络的频谱'
)
xlabel
(
'频率f (Hz)'
)
ylabel
(
'|A(f)|'
)
对应结果图:
从结果可以观察,出了边界误差较大,结果值符合预期。对于边界效应的分析,见扩展阅读部分。注意:此处瞬时频率求解,没有用instfreq函数,扩展阅读部分对该函数作进一步讨论。
三、扩展阅读
A-瞬时频率求解方法对比
对于离散数据,通常都是用差分代替微分,因此瞬时频率也可根据概念直接求解。此处对比分析两种求解瞬时频率的方法,给出代码:
clc
clear
all
close
all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 原始信号
f1 = 10;
f2 = 70;
% a = cos(2*pi*f1*t); % 包络1
a = 2 +
exp
(0.2*f1*t);
% 包络2
% a = 1./(1+t.^2*50); % 包络3
m =
sin
(2*
pi
*f2*t);
% 调制信号
y = a.*m;
% 信号调制
figure
yh = hilbert(y);
aangle =
unwrap
(
angle
(yh));
% 包络的相位
af1 =
diff
(aangle)/2/
pi
;
% 包络的瞬时频率,差分代替微分计算
af1 = [af1(1),af1];
subplot
211
plot
(t, af1*fs);
hold
on;
plot
(t,70*
ones
(1,
length
(t)),
'r--'
,
'linewidth'
,2);
title
(
'直接求解调制信号的瞬时频率'
);
legend
(
'频率估值'
,
'真实值'
,
'location'
,
'best'
);
subplot
212
af2 = instfreq(yh.
').'
;
af2 = [af2(1),af2,af2(
end
)];
plot
(t, af2*fs);
hold
on;
plot
(t,70*
ones
(1,
length
(t)),
'r--'
,
'linewidth'
,2);
title
(
'instfreq求解调制信号的瞬时频率'
);
legend
(
'频率估值'
,
'真实值'
,
'location'
,
'best'
);
结果图:
可以看出,两种方式结果近似,但instfreq的结果更为平滑一些。
B-端点效应分析
对于任意包络,求解信号的包络以及瞬时频率,容易出现端点误差较大的情况,该现象主要基于信号中的Gibbs现象,限于篇幅,拟为此单独写一篇文章,具体请参考:Hilbert端点效应分析。
C-VMD、EMD
Hilbert经典应用总绕不开HHT(Hilbert Huang),HHT基于EMD,近年来又出现了VMD分解,拟为此同样写一篇文章,略说一二心得,具体参考:EMD、VMD的一点小思考。
D-解包络方法
需要认识到,Hilbert不是解包络的唯一途径,低通滤波(LPF)等方式一样可以达到该效果,只不过截止频率需要调参。
给出一个Hilbert、低通滤波解包络的代码:
function
y=envelope(signal,Fs)
%Example:
% load('s4.mat');
% signal=s4;
% Fs=12000;
% envelope(signal,Fs);
clc
;
close
all
;
%Normal FFT
y=signal;
figure
();
N=2*2048;T=N/Fs;
sig_f=
abs
(
fft
(y(1:N)',N));
sig_n=sig_f/(
norm
(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;
subplot
311
plot
(freq_s(2:250),sig_n(2:250));
title
(
'FFT of Original Signal'
);
%Envelope Detection based on Low pass filter and then FFT
[a,b]=butter(2,0.1);
%butterworth Filter of 2 poles and Wn=0.1
%sig_abs=abs(signal); % Can be used instead of squaring, then filtering and
%then taking square root
sig_sq=2*signal.*signal;
% squaring for rectifing
%gain of 2 for maintianing the same energy in the output
y_sq =
filter
(a,b,sig_sq);
%applying LPF
y=
sqrt
(y_sq);
%taking Square root
%advantages of taking square and then Square root rather than abs, brings
%out some hidden information more efficiently
N=2*2048;T=N/Fs;
sig_f=
abs
(
fft
(y(1:N)',N));
sig_n=sig_f/(
norm
(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;
subplot
312
plot
(freq_s(2:250),sig_n(2:250));
title
(
'Envelope Detection: LPF Method'
);
%Envelope Detection based on Hilbert Transform and then FFT
analy=hilbert(signal);
y=
abs
(analy);
N=2*2048;T=N/Fs;
sig_f=
abs
(
fft
(y(1:N)',N));
sig_n=sig_f/(
norm
(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;
subplot
313
plot
(freq_s(2:250),sig_n(2:250));
title
(
'Envelope Detection : Hilbert Transform'
)
结果图:
效果是不是也不错?
- 信号处理——Hilbert变换及谱分析
- Hilbert变换及谱分析
- Hilbert变换及谱分析
- Hilbert变换及谱分析
- Hilbert变换及谱分析
- 信号处理——Hilbert端点效应浅析
- 《语音信号处理》第五章总结——同态滤波和倒谱分析
- 信号处理——信号频域变换
- 信号处理——信号频域变换
- 信号处理——信号频域变换
- Hilbert 变换
- Python在信号与系统中的应用(1)——Hilbert变换,Hilbert在单边带包络检波的应用,FIR_LPF滤波器设计,还有逼格高高的FM(PM)调制
- 希尔伯特(Hilbert)变换
- 信号及信号处理
- 信号及信号处理
- 信号及信号处理
- 语音信号的同态处理、倒谱分析和Mel频率倒谱系数
- Houdini学习 —— 使用音频驱动几何体变换之信号处理
- [bzoj] 1082: [SCOI2005]栅栏
- 安卓手机应用获取通讯录中的联系人
- Java接入微信开放平台登录
- 1155: 速算24点
- 线程控制
- 信号处理——Hilbert变换及谱分析
- hibernate的一级缓存
- (77)蓝图事件
- java类的反射的应用
- 一、java的概述(完善中。。)
- jdbc
- Match的React Native入门之旅
- java定义float a = 1和float a = 1f什么区别?
- C++的一些特性