递推关系（ Recurrences, UVa 10870）（矩阵快速幂）

递推关系（ Recurrences, UVa 10870）
考虑线性递推关系f（ n） ＝a
1f（n－1） ＋a2f（n－2） ＋a3f（n－3）
＋…＋a
df（n－d） ， 最著名的例子是Fibonacci数列f（1） ＝f（2） ＝1，
f（ n） ＝f（n－1） ＋f（n－2） ， 因此d＝2，a
1＝a2＝1。 你的任务是计算
f（ n） 除以m的余数。
【 输入格式】
输入包含若干组数据。 每组数据第一行为3个整数d，n，
m（ 1≤d≤15，1≤n≤231－1，1≤m≤46340） 。 第二行为d个非负整数a
1， a2，
…， a
d。 第三行为d个非负整数f（1） ， f（2） ， …，f（ d） 。 这些非负整
数均不超过232－1。 输入结束标志为d＝n＝m＝0。
【 输出格式】
对于每组数据， 输出f（ n） 除以m的余数。
【 分析】
线性递推关系是组合计数中很常见的一种递推关系。 直接利用递推
式， 需要O（ nd） 时间才能算出f（n） ， 时间无法承受。
现在已经有了f（ n） ＝a
1f（n－1） ＋a2f（n－2） ＋a3f（n－3） ＋…＋
a
df（n－d） ， 再加上f（n－1） ＝f（n－1） ，f（ n－2） ＝f（n－2） 等显然

成立的式子， 可以得到如下关系式

其中A称为相伴矩阵， 也称友矩阵[14]（companion matrix） 或者Q矩
阵。 这正是“把一个向量变成另一个向量”。 根据矩阵乘法的定义，F（ n）
＝An－dF（d） 。 利用快速矩阵幂， 本题的总时间复杂度为O（d3logn） 。
程序留给读者编写。 唯一需要说明的是矩阵幂的写法。 在数论中，
幂取模都是用递归写法， 但这里推荐用迭代写法， 因为矩阵的数据量较
大， 如果递归求幂， 一不注意就会占用更多的空间， 相比之下迭代写法

更自然。

//矩阵快速幂 //和题解的差不多，但是友矩阵不是一样的//注意点就是要防溢出 #include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;long long d[20][20],dd,n,m,ans[20];void work(){n--;long long t[20],tt[20][20];while(n){if(n&1){memcpy(t,ans,sizeof(t));memset(ans,0,sizeof(ans));for(int i=1;i<=dd;i++){for(int j=1;j<=dd;j++)ans[i]=(ans[i]+d[i][j]*t[j])%m;}}n>>=1;memcpy(tt,d,sizeof(tt));memset(d,0,sizeof(d));for(int i=1;i<=dd;i++)for(int j=1;j<=dd;j++){for(int k=1;k<=dd;k++)d[i][j]+=tt[i][k]*tt[k][j];d[i][j]%=m;}}}int main(){while(~scanf("%lld%lld%lld",&dd,&n,&m)&&(dd||n||m)){memset(d,0,sizeof(d));for(int i=1;i<=dd;i++)scanf("%lld",&d[dd][dd-i+1]);int x=1,y=2;while(x<dd) d[x++][y++]=1;//友矩阵已建好for(int i=1;i<=dd;i++)scanf("%lld",ans+i);work();printf("%lld\n",ans[1]);}return 0;}