poj2976:dropping tests（0/1分数规划）

Description

In a certain course, you take n tests. If you get ai out of bi questions correct on test i, your cumulative average is defined to be.

Given your test scores and a positive integer k, determine how high you can make your cumulative average if you are allowed to drop any k of your test scores.

Suppose you take 3 tests with scores of 5/5, 0/1, and 2/6. Without dropping any tests, your cumulative average is . However, if you drop the third test, your cumulative average becomes .

题意：

给两个数组a[i],b[i],求r=∑n1a[i]∗x[i]∑n1b[i]∗x[i] 的最大值，其中x[i]有k个为0，其余为一。

0-1分数规划

一、分数规划

分数规划的一般形式：

minλ=f(x)=a(x)b(x)
s.t. ∀x∈S,b(x)>0

其中，解向量x在解空间S内，a(x),b(x)都是连续的实值函数。

一般解决分数规划问题的实用方法为参数搜索法，即对答案进行猜测，再验证该猜测值，的最优性，将最优化问题转化为判定性问题或其他更容易求解的最优化问题。由于分数规划 模型的特殊性，使得能够构造另外一个由猜测值 作为自变量的相关问题，且该问题的解满足一定的单调性，或其他的可以减小参数搜索范围的性质，从而逼近答案。

假设λ∗=f(x∗)为该规划的最优解，有：

λ∗=f(x∗)=a(x∗)b(x∗)
⇒λ∗∗b(x∗)=a(x∗)
⇒0=a(x∗)−λ∗∗b(x∗)

由上面的形式构造一个新函数g(x)：

g(λ)=minx∈S{a(x)−λ⋅b(x∗)}

这个函数是一个非分式的规划。先来看看它本身的性质：

单调性：g(λ)是一个严格递减函数，即对于λ1<λ2 ，一定有g(λ1)>g(λ2)

证明：设解向量x1最小化了g(λ1)。则：

g(λ1)=minx∈S{(a(x1)−λ1⋅b(x1)}
=a(x1)−λ1⋅b(x1)
>a(x1)−λ2⋅b(x1)
≥minx∈S{(a(x)−λ2⋅b(x))}=g(λ2)

最后一步说明g(λ1)上最小解代入g(?λ2)后不一定还是最小解，甚至有更小解。

有了单调性，就意味着我们可以采用二分搜索的方法来逼近答案。但我们还不知道我们所求的目标是什么，下面考察构造出的新函数与原目标函数的最优解关系：

Dinkelbach定理：设λ∗为原规划的最优解，则g(λ)=0当且仅当λ=λ∗
证明：必要性：λ=λ∗⇒g(λ∗)=0

对于∀x∈S ，都不会比x∗优：

λ∗=a(x∗)b(x∗)⇒a(x∗)−λx⋅b(x∗)=0

然而x∗ 可以取到这个下限

λ∗=a(x∗)b(x∗)⇒a(x∗)−λ∗⋅b(x∗)=0

充分性：g(λ)=0⇒λ=λ∗

若存在一个解x使得g(λ)=0则f(x)为原规划最优解。

反证法。反设存在一个解λ′=f(x′)，它是比λ=f(x)更优的解。那么：

λ′=a(x′)b(x′)<λ
⇒a(x′−λ⋅b(x′))<0

这时x′应该使得g(λ)<0,这与g(λ)=0矛盾。

由上面的性质及定理容易推得：

⎧⎩⎨⎪⎪g(λ)=0⇔λ=λ∗g(λ)<0⇔λ>λ∗g(λ)>0⇔λ<λ∗

有了该推论我们就可以对最优解进行二分查找，每次需要计算的是一个新的非分数规 划，这就将原问题简化了，以便我们能设计出其他有效的算法解决这个问题。算法的复杂度 是二分迭代的次数与每次解决g(λ)的复杂度的积。

二、0/1分数规划

分数规划的一个特例是0-1分数规划，就是其解向量满足∀x∈{0,1}.形式化的定义：

minλ=f(x)=∑iaixi∑ibixi(x∈ {0,1})
s.t. b⋅x>0

解决0-1分数规划与普通的分数规划一样，也可以采用二分搜索，构建新的规划函数求 解的算法。

例如：给定1个二元组 (ai,bi)，求选出k个二元组，使得剩下的 ∑ai与 ∑bi比率最大，即求：

max∑iaixi∑ibixi,xi∈{0,1}

题解：

二分答案r=∑aixi∑bixi，则最优解满足∑aixi−∑bixi=0
且任意的∑aixi−∑biximax{r}≤0因此我们求解g(r)=∑aixi−∑bixir的最优 （大）值即可判断出答案的范围：g(r)>0 则答案偏小，g(r)<0答案偏大。

回到原问题中，我们将每个二元组的价值设为ai−bi⋅r，之后贪心取最大的k个元素即可求得g(r) 的最优值，进而利用二分确定答案。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<string>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int Maxn=1050;const double eps=1e-7;inline int read(){    char ch=getchar();int i=0,f=1;    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(isdigit(ch)){i=(i<<1)+(i<<3)+ch-'0';ch=getchar();}    return i*f;}int n,k;double a[Maxn],b[Maxn],c[Maxn];inline bool check(double r){    for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=a[i]-r*b[i];    sort(c+1,c+n+1);    double sum=0;    for(int i=k+1;i<=n;i++)    {        sum+=c[i];    }    return sum>=0;}int main(){    while(1)    {        n=read(),k=read();        if(!n&&!k)break;        for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();        for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=read();        double l=0,r=1.0;        while(r-l>eps)        {            double mid=(l+r)*1.0/2.0;            if(check(mid))l=mid;            else r=mid;        }        printf("%.0f\n",l*100);    }    return 0;}