poj3904 Sky Code —— 唯一分解定理 + 容斥原理 + 组合

题目链接：http://poj.org/problem?id=3904

类似题目poj2773（题解）：http://blog.csdn.net/DOLFAMINGO/article/details/72669432

题解：

给出n个数， 随便挑4个， 使得这四个数的最大公约数为1， 问有多少种组合？

思路：先用容斥原理计算出四个数的最大公约数>=1的组合数， 然后再用总数C(n,4)减之。

1.将每个数进行分解质因数， 然后再根据这些质因数组合出不同的因子，并记录这个因子出现的次数以及由多少个质因数构成。

2.容斥原理：比如因子2的个数为a，则四个数公约数为2的个数 为C(a，4)，因子3的个数为b，则四个数公约数为3的个数为C(b，4)，因子6(2*3)的个 数为c，则四个数公约数的个数为C(c，4)。 但是公约数为2的情况中或者公约数为3的情况中可能包括公约数为6的情况，相当于几个集合求并集，这就需要容斥定理来做。

3.如果这个因子出现的次数>=4， 则表明这个因子可以作为某四个数的最大公约数的因子。

4.根据容斥原理：当这个因子的由奇数个质因数构成时， 加； 当这个因子由偶数个质因子构成时， 减。

5. ans = C(n,4) - gcd(a,b,c,d)!=1的组合数。

代码如下：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <string>#include <vector>#include <map>#include <set>#include <queue>#include <stack>#include <sstream>#include <algorithm>using namespace std;#define pb push_back#define mp make_pair#define ms(a, b)  memset((a), (b), sizeof(a))#define eps 0.0000001typedef long long LL;const int INF = 2e9;const LL LNF = 9e18;const int mod = 1e9+7;const int maxn = 1e4+10;LL pri[maxn], fac_num[maxn], fac_pri[maxn];LL n, cnt;LL C(LL x){    return x*(x-1)*(x-2)*(x-3)/24;}void Divide(LL x){    cnt = 0;    for(int i = 2; i*i<=x; i++)    {        if(x%i==0)        {            pri[cnt++] = i;            while(x%i==0)  x /= i;        }    }    if(x!=1) pri[cnt++] = x;}void Unit(){    for(LL s = 1; s < (1<<cnt); s++)   //用二进制， 亦可用递归    {        LL tmp = 1, sum = 0;        for(int j = 0; j<cnt; j++)        if(s&(1<<j))        {            tmp *= pri[j];            sum++;        }        fac_num[tmp]++;        fac_pri[tmp] = sum;    }}void init(){    ms(fac_num, 0);    ms(fac_pri, 0);    LL x;    for(int i = 1; i<=n; i++)    {        scanf("%lld",&x);        Divide(x);  //分解质因数        Unit();     //质因数可以组成哪些因子（这些因子就是四个数的约数）    }}void solve(){    LL tmp = 0;    for(int i = 1; i<=1e4; i++) //容斥， 计算gcd(a,b,c,d)!=1的个数    {        if(fac_num[i]>=4)   //这个因子的个数必须不小于4， 才能成为4个数的约束        {            if(fac_pri[i]&1)    //素数个数为奇数时， 加                tmp += C(fac_num[i]);            else                //素数个数为偶数时， 减                tmp -= C(fac_num[i]);        }    }    LL ans = C(n) - tmp;    //总的减去gcd(a,b,c,d)!=1的个数，即为gcd(a,b,c,d)=1的个数。    printf("%lld\n", ans);}int main(){    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)    {        init();        solve();    }}