Tarjan算法研究：求強連通分量、橋、割

Tarjan算法由Tarjan, R. E.在1972年提出。

它基於圖的DFS（depth first search），複雜度爲O(V+E) ，可以被看作是線性時間算法。

這篇文章的目的在於總結Tarjan算法在求解強連通分量，橋、割方面的應用。尚未完成，逐漸更新。

強連通分量的討論

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強連通分量的定義

（更新時間2017.05.28）

強連通分量是有向圖中的概念。

強連通分量（strongly connected components），簡稱SSC。其名稱中的分量（components）二字，不是數學意義上（比如向量）的分量，更加靠近「部件」之義。不需要糾結於名稱。

試做如下定義：

在有向圖 G 中，考慮一個頂點集合 Sv 。Sv 有如下性質：

• Sv中任意頂點，都能經由G上的邊相互到達。

包含 Sv 所有頂點，且包含這些頂點之間相連的所有邊的子圖就是有向圖 G 的「強連通分量」。

這個集合可以只有一個元素。可以這麼理解：「自己」已經到達了「自己」，所以單個頂點的集合，也算是強連通分量。

下圖就存在3個強連通分量：{1,2,6,5},{3},{4}。

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我們發現，其實一個有向圖 G 的強連通分量可以有很多種。

以下兩組都是符合上述定義的強連通分量：

1. {1},{2},{3},{4},{5},{6}
2. {1,5,6},{1,2,5},{3},{4}

但是這並不是我們想要的「強連通分量」，它不符合直覺。第一組沒有任何意義，第二組頂點重複了。

所以我們需要加強一下定義，得到最大而且不重複的「強連通分量」：

在有向圖 G 中，考慮一個頂點集合 Sv 。Sv 有兩個性質：

1. Sv中任意頂點，都能經由G上的邊相互到達。
2. 已不能加入其他頂點，使這個集合的元素數量增加。

包含 Sv 所有頂點，且包含這些頂點之間相連的所有邊的子圖就是有向圖 G 的「強連通分量」。

根據新的定義，每一個強連通分量集合都是最大化了的，自然不會重複。

這種定義符合直覺，且比較容易理解。

強聯通分量與「環」

（更新時間:2017.6.5）

在「強連通分量的定義」一節中,我們已經用「強連通分量」的「頂點集」即 Sv 來標識一個「強連通分量」.

不妨從頂點的角度繼續研究,以獲得求解「強連通分量」的算法.

考慮 Sv={1,2}.頂點1和頂點2由兩條邊连结.

我們畫出下面這個示意圖.

然後做如下思考:

1. 頂點1 和頂點 2 及相应的边是否形成了一個環.

2. 對於一個普通的有向圖, 它的「強連通分量」和由這個圖上的邊組成的環有何關聯.

經過上述思考, 你應當發現:

在有向圖中, 一個環中的頂點必然在同一個「強連通分量」中.

那麼,我們就可以有如下的樸素思想:

若有向圖的一個頂點在若干個環中, 那將這些環上的所有頂點都放進同一「強連通分量」的頂點集中.

因此,求解「強連通分量」的過程 即可以看成 有向圖 「尋環」 的過程.

並且,因爲一個頂點只可能在一個強連通分量中, 可以用強連通分量中的某一個頂點的編號來標識這個強連通分量.

強連通分量的求解

Tarjan算法能求解強連通分量。

Tarjan尋環的直觀理解

（更新時間:2017.6.5）

一個有向圖的DFS樹(即依據有向圖的DFS過程中,頂點被訪問的先後次序構成的樹狀結構)中,邊能被分爲3類.

如下圖所示.

• 第1類:返祖邊(綠色).從一個節點指向這個節點的祖先的邊.這種邊產生環.
• 第2類:橫叉邊(橙色).從一棵子樹指向另一棵子樹的邊.這種邊不產生環.
• 第3類:普通邊(黑色).非第1類和第2類的邊.這種邊也不產生環.

也就是說,Tarjan算法要尋找的,其實就是「返祖邊」.

返祖邊帶來環,而環就帶來了強連通分量.

現在Tarjan算法能夠簡單地理解如下:

在DFS的同時,不斷地把路徑上的頂點編號壓入棧中,檢測每條邊是否指向當前節點的祖先.若:

1. 是當前節點的祖先:即探測到環.把環上所有頂點歸入以祖先標識的強聯通分量.
2. 不是當前節點的祖先:繼續DFS.

Tarjan算法的實現以及註解(未完成~)

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參考文章：

Tarjan’s strongly connected components algorithm

有向图强连通分量的Tarjan算法