对卿学姐的一道题目的自己的理解

题目很简答：

下面是我复制粘贴的连接的原文：

卿学姐blog:

这周呢，我要讲的算法是二分法，至于为什么要讲这个算法呢，我才不会告诉你们是因为这周的每周一题就是二分呢。

引入一道例题：

Block Towers（来源codeforces 8VC Venture Cup 2016 - Elimination Round C题）
题意：

你需要找n个2的倍数，m个3的倍数，要求所有数都不一样

你的目的是使得其中最大的数最小，然后问你这个数是多少呢？

(0 ≤ n, m ≤ 1 000 000, n + m > 0)

喵，题意讲完了~

你们知道怎么做吗？

只见迅雷不及掩耳盗铃之势，小郭同学一看到这道题，大呼：“这不是傻X题吗？我会做了！”

小郭说：“这道题贪心就好了，由于是2和3之间的关系，肯定3得优先排前面，我先把3分配完，然后再弄2就好了！”

小郭三下五除二就把代码写完，submit！

duang，Wrong answer on pretest 4。

哼，这周的主题就是二分，怎么能够让你贪心贪过去呢？（一脸傲娇

第4个数据是 4 2，贪心的话，答案是10，但实际答案可以是9.

这道题，如果正面去贪心的话，情况多多，比较麻烦，而且写着好累啊。

那么我们怎么做呢？

我们首先第一步，认识到这个答案是具有单调性的！

如果T这个值是符合答案的，那么存在To>T,To显然也是符合答案的。

因为To范围内的数显然比T多，而且To完全可以和T选取一模一样的数出来。

反之，如果T是不符合答案的，如果To<T，显然To也是不符合答案的。

然后我们就可以开始二分答案咯。

我们把问题转换为，给你T，问你T范围内，是否能够分离出n个2的倍数，和m个3的倍数，并且这些数都是不一样的呢？

只听喵的一声，沈宝宝说他会做了！

沈宝宝说：“我们可以知道，T范围内，是2的倍数的数有T/2个，是3的倍数的有T/3个，即是2又是3的倍数的数，有T/6个，那么只要(max(0,n-(T/2-T/6))+max(m-(T/3-T/6),0))<=T/6就好了！" 。

回答正确！奖励一颗糖！

我们就二分答案，不断check就好了。

我们首先找到答案的下界，l = 0，以及答案的上界r = 3*1000000。

然后我们不断check((l+r)/2)，如果(l+r)/2是符合答案的，那么根据单调性，显然[(l+r)/2,+∞)这个范围，都是符合答案的，那么我们令r = mid。如果(l+r)/2不符合答案，同理，根据单调性，(-∞,(l+r)/2]都是不符合答案的，我们就令l=mid。

然后这样不断的进行check，直到l > r的时候，这样我们就能找到那个不符合和符合的分界线了~

这条分界线，显然就是答案咯。

喵，每一次check的时候，时间复杂度是O(1)，我最多check logn次，所以二分的总时间复杂度是O(logn)的，完全可以接受。

于是，我得到了Accepted。

下面是我对上面那个不等式的理解：

①当(n-(T/2-T/6))<0的时候，说明在T范围内的数字里面，能被2整除，并且把所有6的倍数排除在外，说明T范围内的数字一定是满足n个2的要求。

②当(n-(T/2-y/6))>0时，说明在T范围内，是2的倍数且不包含6的倍数的数字的个数小于n,同理对3的数字的个数小于m，那么这些还没有找到的数字要从T/6个数字里面找，如果该不等式成立，那么说明T的范围是符合要求的。否则T的范围是偏小的。

下面对n = 4， m = 2进行说明：T = 9

首先是2的倍数，并且不是6的倍数的数：2, 4, 8还有一个数没有找到

然后是3的倍数，并且不是6的倍数的数字: 3， 9 这已经符合对3的倍数的要求了

那么在T范围内6的倍数还剩下：6，正好可以给2的要求的数字。

直接将数字带入也是满足要求的，那么就这样。

本题采用二分的思想，复杂度为logn ,这也是二分的优点。

最后的最后，强烈安利卿学姐的blog真的给人以强大的干劲呢！！居然三年一直保持blog的更新，现在已经达到了2000篇，我的下一个目标就是切1000道题目，希望明年能够达成目标。