刷清橙OJ--A1040.Cantor表

问题：

A1040. Cantor表

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问题描述

　　Georg Cantor证明了有理数是可列的，他用下面这一张表来证明该命题：

　　1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...

　　2/1 2/2 2/3 2/4 ...

　　3/1 3/2 3/3 ...

　　4/1 4/2 ...

　　5/1

　　我们以z字型给上表的每一项编号。第1项是1/1，然后是1/2，2/1，3/1，2/2...

　　你的任务是求表中第N项的值。

输入格式

　　输入仅一个正整数n(1<=n<=100000)

输出格式

　　以分数形式输出表中的第n项（不用约分）

样例输入

7

样例输出

1/4

代码：

#include <iostream>#include <cstring>#include <cctype>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;int main() {    int n;    int sum, dif;    int x, y;    int i;        cin >> n;        sum = 0;    for (i = 1; sum + i < n; i++) {        sum += i;    }    dif = n - sum - 1;    if (i % 2 == 1) {        y = 1 + dif;        x = i - dif;    } else {        x = 1 + dif;        y = i - dif;    }    printf("%d/%d", x, y);        system("pause");    return 0;}

个人想法：高级版找规律吗。。。

试题讨论中的解题思路：

通过观察，发现这张表有这样几个特征：

1、分子和分母分别代表这个分数在表上的行数和列数

例如说3/2就出现在表的第三行第二个

2、如果将编号单独取出来，可以编成这样一张表

1 2 6 7 15 16

3 5 8 14 17

4 9 13 18

10 12

11

...

进一步对上表进行分析，得到这样几个有趣的发现

对角线上的数的数量是逐一递增的

例如第一条对角线（1）上只有一个数

第二条对角线上（2、3）有两个数

第三条对角线上（4、5、6）有三个数

于是，决定解题方法为尝试找到表中第N项在编号数表（上表）的位置

我们可以借助编号数表的对角线

第一条对角线上的最大的编号是1

第二条对角线上的最大的编号是1+2

第三条对角线上的最大的编号是1+2+3

以此类推

可以通过枚举得到第N项在第几条对角线上

通过观察，发现

第奇数条对角线上的编号的增长方向是向右上角的

第偶数条对角线上的编号的增长方向是向左下角的

之后就可以利用枚举出的最大编号与N的差，和N项所在的对角线的编号增长方向逆推出第N向在数表上的位置了 

顺带附一张图帮助大家理解