剑指offer-面试题32-从1到n整数中1出现的次数

解题思路参考自：http://blog.csdn.net/yi_afly/article/details/52012593

1. 题目描述

输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

2. 题目来源

第一次看到是在《剑指Offer》第2版上，面试题32。leetcode和牛客网上都有这道题。

3. 本文的目的

看了《剑指Offer》上的解法，我觉得不能算好：

1. 这段解释描述有些不清晰，而且没有图，难以理解。
2. 从书中给出的实现上来看，显得有些凌乱。

在这篇博客里，会给出一个我对这道题的解法，包括完整的解题思路，完整代码，时间复杂度分析，以及在leetcode和牛客网上的提交结果。

4. 解题思路

考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论，每一位的值记为weight。

1) 个位

从1到n，每增加1，weight就会加1，当weight加到9时，再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢？这取决于n的高位是多少，看图： 

以534为例，在从1增长到n的过程中，534的个位从0-9变化了53次，记为round。每一轮变化中，1在个位出现一次，所以一共出现了53次。 
再来看weight的值。weight为4，大于0，说明第54轮变化是从0-4，1又出现了1次。我们记1出现的次数为count，所以： 
count = round+1 = 53 + 1 = 54
如果此时weight为0（n=530），说明第54轮到0就停止了，那么： 
count = round = 53

2) 十位

对于10位来说，其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的，见图： 

不同点在于：从1到n，每增加10，十位的weight才会增加1，所以，一轮0-9周期内，1会出现10次。即rount*10。 

再来看weight的值。

当此时weight为3，大于1，说明第6轮出现了10次1，则： 

count = round*10+10 = 5*10+10 = 60
如果此时weight的值等于0（n=504），说明第6轮到0就停止了，所以： 
count = round*10+10 = 5*10 = 50
如果此时weight的值等于1（n=514），那么第6轮中1出现了多少次呢？很明显，这与个位数的值有关，个位数为k，第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former，则： 
count = round*10+former +1= 5*10+4 = 55

3) 更高位

更高位的计算方式其实与十位是一致的，不再阐述。

4) 总结

将n的各个位分为两类：个位与其它位。 
对个位来说：

• 若个位大于0，1出现的次数为round*1+1
• 若个位等于0，1出现的次数为round*1

对其它位来说，记每一位的权值为base，位值为weight，该位之前的数是former，举例如图： 

则：

• 若weight为0，则1出现次数为round*base
• 若weight为1，则1出现次数为round*base+former+1
• 若weight大于1，则1出现次数为rount*base+base

比如：

• 534 = （个位1出现次数）+（十位1出现次数）+（百位1出现次数）=（53*1+1）+（5*10+10）+（0*100+100）= 214
• 530 = （53*1）+（5*10+10）+（0*100+100） = 213
• 504 = （50*1+1）+（5*10）+（0*100+100） = 201
• 514 = （51*1+1）+（5*10+4+1）+（0*100+100） = 207
• 10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2

5. 完整代码

package case32_NumOf1Between1AndN;/** * 题目要求： *  * 输入一个整数n，求1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数 中包含1的数字有1,10,11,12,1 一共出现了5次。 *  * @author WangSai * */public class NumOf1Between1AndN {/** * @param args */public static void main(String[] args) {int n = 999000900;System.out.println("solution1:");long time1 = System.currentTimeMillis();int m = getNumOf1From1ToN_solution2(n);long time2 = System.currentTimeMillis();System.out.println(time2 - time1);System.out.println(m);System.out.println("solution2:");long time3 = System.currentTimeMillis();int p = getNumOf1From1ToN_solution1(n);long time4 = System.currentTimeMillis();System.out.println(time4 - time3);System.out.println(p);}/** * 方法1：从1到n中，统计每个数字中1出现的次数，然后，把所有的次数累加起来。时间复杂度O(nlogn) *  * @param n，最后一个数字n * @return 1出现的总次数 */public static int getNumOf1From1ToN_solution1(int n) {// 异常值检测if (n < 1)return -1;int sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {sum += getNumOf1Ofn(i);}return sum;}/** * 统计i中1出现的次数 *  * @param i，待统计的数字 * @return 1在i中出现的次数 */private static int getNumOf1Ofn(int i) {int count = 0;while (i > 0) {if (i % 10 == 1)count++;i /= 10;}return count;}/** * 方法2：根据n分为个位和其他位，[round-weight-former]，该方法的时间算法复杂度为O(logn) *  * @param n * @return */public static int getNumOf1From1ToN_solution2(int n) {// 异常值检测if (n < 1)return 0;// 把n分为个位和其他位int round = n;int count = 0;int base = 1;while (round > 0) {// 取余，获取weightint weight = round % 10;// 获取roundround /= 10;// 若weight为0count += round * base;// 判断weight的值，若等于1，则加上former的值，再加1if (weight == 1) {count += n % base + 1;}// 若weight>1，则加上baseelse if (weight > 1) {count += base;}// 基数乘以10，向高位移动一位base *= 10;}return count;}}