qwb与神奇的序列 快速幂 非逆元 矩阵快速幂
来源:互联网 发布:兴业银行淘宝网银支付 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 08:11
转我自己的博客:写得贼好 http://blog.csdn.net/yo_bc/article/details/72846995
Description
qwb又遇到了一道题目:
有一个序列,初始时只有两个数x和y,之后每次操作时,在原序列的任意两个相邻数之间插入这两个数的和,得到新序列。举例说明:
初始:1 2
操作1次:1 3 2
操作2次:1 4 3 5 2
……
请问在操作n次之后,得到的序列的所有数之和是多少?
Input
多组测试数据,处理到文件结束(测试例数量<=50000)。
输入为一行三个整数x,y,n,相邻两个数之间用单个空格隔开。(0 <= x <= 1e10, 0 <= y <= 1e10, 1 < n <= 1e10)。
Output
对于每个测试例,输出一个整数,占一行,即最终序列中所有数之和。
如果和超过1e8,则输出低8位。(前导0不输出,直接理解成%1e8)
Sample Input
1 2 2
Sample Output
15
思路:规律题,首先容易推出ans[i] = ans[i-1]*3-(x+y), 再根据等比数列公式可以得到规律第n次操作的和
为:(3^n+1)/2 * (x+y);
快速幂做法需要几个注意的点:
1. 不能在求3^n的时候直接取模,之后/2%mod
2. 看到除法就想逆元是不可行的,因为2和mod不互质,所以逆元不能用。
3. 可以根据公式:(a/b)%mod = a%(b*mod)/b%mod, 所以就可以在快速幂求3^n的时候%2e8,求完之后
再/2%mod*(x+y)%mod,即可得到正确答案。
根据ans[i] = ans[i-1]*3-(x+y)还可以得到矩阵快速幂做法,
#include <bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; const int mod = 1e8; LL a, b, n; LL quickM(LL a, LL b) { LL ans = 1, base = a; while(b) { if(b&1) ans = ans*base%(mod*2); base = base*base%(mod*2); b >>= 1; } return ans; } int main() { while(~scanf("%lld %lld %lld", &a, &b, &n)) { x = (a+b)%mod; ans = (quickM(3, n)+1)/2%mod*x%mod; printf("%lld\n", ans); } return 0; }
#include <bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; const LL mod = 1e8; struct node { LL e11, e12, e13, e21, e22, e23, e31, e32, e33; }; LL x, y, n; node multi(node a, node b) { node ans; ans.e11 = (a.e11*b.e11 + a.e12*b.e21 + a.e13*b.e31)%mod; ans.e12 = (a.e11*b.e12 + a.e12*b.e22 + a.e13*b.e32)%mod; ans.e13 = (a.e11*b.e13 + a.e12*b.e23 + a.e13*b.e33)%mod; ans.e21 = (a.e21*b.e11 + a.e22*b.e21 + a.e23*b.e31)%mod; ans.e22 = (a.e21*b.e12 + a.e22*b.e22 + a.e23*b.e32)%mod; ans.e23 = (a.e21*b.e13 + a.e22*b.e23 + a.e23*b.e33)%mod; ans.e31 = (a.e31*b.e11 + a.e32*b.e21 + a.e33*b.e31)%mod; ans.e32 = (a.e31*b.e12 + a.e32*b.e22 + a.e33*b.e32)%mod; ans.e33 = (a.e31*b.e13 + a.e32*b.e23 + a.e33*b.e33)%mod; return ans; } LL quickM(LL b) { node base, ans; base.e11 = 3, base.e12 = 0, base.e13 = -1; base.e21 = 0, base.e22 = 3, base.e23 = -1; base.e31 = 0, base.e32 = 0, base.e33 = 1; ans.e11 = 1, ans.e12 = 0, ans.e13 = 0; ans.e21 = 0, ans.e22 = 1, ans.e23 = 0; ans.e31 = 0, ans.e32 = 0, ans.e33 = 1; while(b) { if(b&1) ans = multi(ans, base); base = multi(base, base); b >>= 1; } return (ans.e21*2+ans.e22*1+ans.e23+mod)%mod; } int main() { while(~scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &n)) { printf("%lld\n", (x+y)%mod*quickM(n)%mod); } return 0; } ------------------------------优雅的分割线------------------------------ #include <bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; const LL mod = 1e8; struct node { LL m[4][4]; }; LL x, y, n; node multi(node a, node b) { node ans; memset(ans.m, 0, sizeof ans.m); for(int i = 1; i <= 3; ++i) for(int j = 1; j <= 3; ++j) for(int k = 1; k <= 3; ++k) ans.m[i][j] = (ans.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod; return ans; } LL quickM(LL b) { node base, ans; base.m[1][1] = 3, base.m[1][2] = 0, base.m[1][3] = -1; base.m[2][1] = 0, base.m[2][2] = 3, base.m[2][3] = -1; base.m[3][1] = 0, base.m[3][2] = 0, base.m[3][3] = 1; ans.m[1][1] = 1, ans.m[1][2] = 0, ans.m[1][3] = 0; ans.m[2][1] = 0, ans.m[2][2] = 1, ans.m[2][3] = 0; ans.m[3][1] = 0, ans.m[3][2] = 0, ans.m[3][3] = 1; while(b) { if(b&1) ans = multi(ans, base); base = multi(base, base); b >>= 1; } return (ans.m[2][1]*2+ans.m[2][2]*1+ans.m[2][3]+mod)%mod; } int main() { while(~scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &n)) { printf("%lld\n", (x+y)%mod*quickM(n)%mod); } return 0; }
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