[LeetCode] 416. Partition Equal Subset Sum

Given a non-empty array containing onlypositive integers, find if the array can be partitioned into two subsetssuch that the sum of elements in both subsets is equal.

 

问题描述：

给定一非空数组，数组元素均为正整数，试问是否可以将数组划分成两个互补的子集，两子集的元素之和相等。

 

让我们尝试用0-1背包问题的思路，对该问题进行求解。

 

1.    0-1背包问题

 

已知我们的背包的容积为C。

假定有一系列物件，每个物件i的价值为v[i]，所占的体积为c[i]。

试问在不超过背包所能容纳能力的情况下，背包中的所有的物件的最大总价值为多少。

 

对此，我们所建立的状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j –c[i]] + v[i]);

 

dp[i][j]代表在仅使用前i个物件，上限容积为j的情况下，所能达到的最大总价值

 

状态转移方程中关键点就是，是否将第i个物件放入背包中。

Case 1: 第i个物件不放入背包中，为此可用上限容积不变。

Case 2：第i个物件放入背包中，可用上限容积相应减少，相应的带来了v[i]的价值。

 

 

 

2.    0-1背包问题过渡

 

如果试着把上述问题稍加变化，变成我们希望尽可能的塞满整个书包呢？

我们只需要把v[i]替换成c[i].

 

原问题中，是在给定书包容积的情况下，尽可能地获取最大的总价值。

 

那么，经过我们这一替换，问题就变成了，是在给定书包容积的情况下，尽可能地获取最大的总体积。

 

但是，总体积总是受限于书包容积，故也就是，在给定书包容积的情况下，尽可能地逼近书包容积。

 

形式化的描述就是：

 

背包的上限容积为C.

每个物件i，价值v[i],体积为c[i].

在不超过上限容积的情况下，使得背包中的物件的总体积最接近背包实际上限容积。

 

dp[i][j]:

在仅使用前i个物件，容积上限为j的情况下，背包中的物件的最大总体积

 

dp[n][C]就是我们最终所要求解的。

 

状态转移方程:

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j -c[i]] + c[i]);

 

 

3.    Partition Equal Subset Sum

 

再回过头来看我们的问题，

我们是不是可以理解成，

如何从一堆体积已知的物件当中，挑出那么几个，来正好塞满其中一个背包，然后剩下的物件又正好塞满另一个同等体积的背包呢？

 

所有物件的体积都已知，故我们可以求出上述背包的体积C = sum / 2；

 

故问题就等价于dp[n][C] == C

 

状态转移方程就是：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]，dp[i - 1][j - c[i]] + c[i])