【LeetCode】416. Partition Equal Subset Sum

关键词：动态规划， 滚动数组， 将数组划分成和相等的两部分

题目描述：

Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.

Note:

1. Each of the array element will not exceed 100.
2. The array size will not exceed 200.

Example 1:

Input: [1, 5, 11, 5]Output: trueExplanation: The array can be partitioned as [1, 5, 5] and [11].

Example 2:

Input: [1, 2, 3, 5]Output: falseExplanation: The array cannot be partitioned into equal sum subsets.

即将给定的数组划分成两部分， 这两部分数组和相等。

题目解析：

使用动态规划的方法， 记二维布尔数组 A[i, j] 表示使用数组的前 i 个数字， 是否能构成和为 j 的数组状态转移方程为：

            A[0,0] = 1
            A[i+1,j] = A[i,j] or A[i, j - nums[i]]

初始化时， A[0, 0] = 1, 表示不使用任何数字时， 能构成和为0的数组（空数组）。

当计算A[i+1, j]时，若使用前i个数字不使用第i个数字能构成和j, 那么A[i+1,j] = true; 若使用前i个数字且使用第i个数字时，若A[i, j - nums[i]] 为true, 则A[i+1, j] = true.

参考代码：

class Solution {public:    bool canPartition(vector<int>& nums) {        int su = 0;        for (int i : nums)su += i;        if (su & 1)return false;        int half = su / 2;        vector<vector<bool> > dp(nums.size()+1, vector<bool>(half + 1, false));        /*            A[0,0] = 1            A[i+1,j] = A[i,j] or A[i, j - nums[i]]        */        dp[0][0] = true;        for (int i = 0;i < nums.size();++i){            for (int j = 0;j <= half;++j){                dp[i+1][j] = dp[i][j];                if (j >= nums[i] && dp[i][j - nums[i]])dp[i+1][j] = true;            }        }        return dp[nums.size()][half];    }};

上述算法的时间复杂度为O(nums.size() * half), 空间复杂度为（O((nums.size() + 1)* (half + 1) )）, 其中half为所有数字总和的一半。

使用滚动数组可以降低空间的使用量, 原因是动态规划的过程中， 存在不再使用的旧值，可以用新值将旧值覆盖。

状态转移方程为：

B[0] = 1
B'[j] = B[j] or B[j - nums[i]] 

需要注意， 不要将同一个位置的数字相加多遍， 若j 从低往高数， 会将同一数字相加多遍。若j 从高往低数， 则可以保证同一个数字最多只被加一遍。

参考代码：

class Solution {public:    bool canPartition(vector<int>& nums) {        int su = 0;        for (int i : nums)su += i;        if (su & 1)return false;        int half = su / 2;        vector<bool> dp(half + 1, false);        dp[0] = true;        for (int k : nums){            for (int j = half; j >= k;--j){                if (!dp[j] && dp[j - k])dp[j] = true;            }        }        return dp[half];    }};

时间复杂度为O(nums.size() * half), 空间复杂度为O(half ), 可见使用滚动数组， 时间复杂度不变，但空间复杂度减少了很多。