排序算法（三）——插入排序及改进

插入排序

基本思想

在要排序的一组数中，假设前面(n-1)[n>=2] 个数已经是排好顺序的，现在要把第n个数找到相应位置并插入，使得这n个数也是排好顺序的。如此反复循环，直到全部排好顺序。

java实现

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1. //插入排序  
2. public void insertionSort(){  
3.         
4.        int len = array.length;  
5.        int counter = 1;  
6.         
7.        for(int i=1;i<len;i++){  
8.            
9.           int temp = array[i];  //存储待排序的元素值  
10.           int insertPoint = i-1;  //与待排序元素值作比较的元素的下标  
11.            
12.           while(insertPoint>=0 && array[insertPoint]>temp){ //当前元素比待排序元素大  
13.               array[insertPoint+1]= array[insertPoint];  //当前元素后移一位  
14.               insertPoint--;  
15.           }  
16.           array[insertPoint+1]= temp;  //找到了插入位置，插入待排序元素  
17.            
18.           System.out.print("第"+counter+"轮排序结果：");  
19.           display();  
20.           counter++;  
21.        }  
22.    }  

算法分析

在第一趟排序中，插入排序最多比较一次，第二趟最多比较两次，依次类推，最后一趟最多比较N-1次。因此有：

1+2+3+...+N-1 =N*N(N-1)/2

因为在每趟排序发现插入点之前，平均来说，只有全体数据项的一半进行比较，我们除以2得到：

N*N(N-1)/4

复制的次数大致等于比较的次数，然而，一次复制与一次比较的时间消耗不同，所以相对于随机数据，这个算法比冒泡排序快一倍，比选择排序略快。

与冒泡排序、选择排序一样，插入排序的时间复杂度仍然为O(N²)，这三者被称为简单排序或者基本排序，三者都是稳定的排序算法。

如果待排序数组基本有序时，插入排序的效率会更高。

插入排序的改进

在插入某个元素之前需要先确定该元素在有序数组中的位置，上例的做法是对有序数组中的元素逐个扫描，当数据量比较大的时候，这是一个很耗时间的过程，可以采用二分查找法改进，这种排序也被称为二分插入排序。

改进后的代码如下：

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1. //二分插入排序  
2.    public void BinaryInsertionSort(){  
3.         
4.        int len = array.length;  
5.        int counter = 1;  
6.         
7.        for(int i=1;i<len;i++){  
8.            
9.           int temp = array[i];  //存储待排序的元素值  
10.            
11.           if(array[i-1]>temp){  //比有序数组的最后一个元素要小  
12.                
13.               intinsertIndex = binarySearch(0, i-1, temp); //获取应插入位置的下标  
14.               for(int j=i;j>insertIndex;j--){  //将有序数组中，插入点之后的元素后移一位  
15.                  array[j]= array[j-1];  
16.               }  
17.                
18.               array[insertIndex]= temp;  //插入待排序元素到正确的位置  
19.           }  
20.            
21.           System.out.print("第"+counter+"轮排序结果：");  
22.           display();  
23.           counter++;  
24.        }  
25.    }  
26.     
27.    /** 
28.     * 二分查找法 
29.     * @param lowerBound 查找段的最小下标 
30.     * @param upperBound 查找段的最大下标 
31.     * @param target 目标元素 
32.     * @return 目标元素应该插入位置的下标 
33.     */  
34.    public int binarySearch(int lowerBound,int upperBound,int target){  
35.        int curIndex;   
36.        while(lowerBound<upperBound){  
37.           curIndex= (lowerBound+upperBound)/2;  
38.           if(array[curIndex]>target){  
39.               upperBound= curIndex - 1;  
40.           }else{  
41.               lowerBound= curIndex + 1;  
42.           }  
43.        }  
44.        return lowerBound;  
45.    }  

 

还有一种在二分插入排序的基础上进一步改进的排序，称为2-路插入排序，其目的是减少排序过程中移动记录的次数，但为此需要n个记录的辅助空间。

算法的思想为：另设一个和原始待排序列L相同的数组D，首先将L[1]复制给D[1]，并把D[1]看成是已排好序的序列中处于中间位置的元素（枢纽元素），之后将L中的从第二个元素开始依次插入到数组D中，大于D[1]的插入到D[1]之后的序列(此处我称为右半边序列，用的是数组左半部分空间)，小于D[1]的插入到D[1]之前的序列(左半边序列，用的是数组右半部分空间)。

该算法将数组当做首尾衔接的环形结构来使用。

示意图如下：

 

排序完成之后，数组中的元素并不是按照下标升序排列的，而是靠first与final指针确定起始元素。

注意：当L[1]为最小值时，2-路插入排序失去它的优越性，等同于二分插入排序。

代码如下：

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1. //2-路插入排序  
2. public void two_wayInsertionSort(){  
3.      
4.     int len = array.length;  
5.     int [] newArray = new int [len];   
6.     newArray[0]= array[0];  //将原数组的第一个元素作为枢纽元素  
7.     int first = 0;  //指向最小元素的指针  
8.     int last = 0;   //指向最大元素的指针  
9.      
10.     for(int j=0;j<newArray.length;j++){  //打印初始化数组  
11.        System.out.print(newArray[j]+"\t");  
12.     }  
13.     System.out.println();  
14.      
15.     for(int i=1;i<len;i++){  
16.         
17.        if(array[i]>= newArray[last]){  //大于等于最大元素，直接插入到last后面，不用移动元素  
18.            last++;  
19.            newArray[last]= array[i];  
20.        }else if(array[i] < newArray[first]){  //小于最小元素，直接插到first前面，不用移动元素  
21.            first= (first-1+len) % len;  
22.            newArray[first]= array[i];  
23.        }else if(array[i] >= newArray[0]){  //在最大值与最小值之间，且大于等于枢纽元素，插入到last之前，需要移动元素  
24.            int curIndex = last;  
25.            last++;  
26.            do{  //比array[i]大的元素后移一位  
27.               newArray[curIndex+1]= newArray[curIndex];  
28.               curIndex--;  
29.            }while(newArray[curIndex]>array[i]);  
30.             
31.            newArray[curIndex+1]= array[i];  //插入到正确的位置  
32.        }else{  //在最大值与最小值之间，且小于枢纽元素，插入到first之后，需要移动元素  
33.            int curIndex = first;  
34.            first= (first-1+len) % len;  
35.            do{  //比array[i]小的元素前移一位  
36.               newArray[curIndex-1]= newArray[curIndex];  
37.               curIndex= (curIndex+1+len)%len;  
38.            }while(newArray[curIndex]<=array[i]);  
39.             
40.            newArray[(curIndex-1+len)%len]= array[i];  //插入到正确的位置  
41.        }  
42.         
43.        for(int j=0;j<newArray.length;j++){  //打印新数组中的元素  
44.            System.out.print(newArray[j]+"\t");  
45.        }  
46.        System.out.println();  
47.         
48.     }  
49. }  

 

如果对如下数组进行排序

8,1,11,12,4,20,7,2,6,15

打印结果如下：

此时，first指向下标为5的元素（1），last指向下标为4的元素（20）