NP-完全问题证明

8.3 吝啬SAT问题是这样的：给定一组子句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k个变量为true的满足赋值，如果该赋值存在。证明吝啬SAT是NP-完全问题。

证明: 因为吝啬SAT问题可以在多项式时间内验证，因此属于NP问题。对于一个SAT问题的实例来说，如果变量的总个数为k，那么肯定满足最多有k个变量为true的约束，成为一个吝啬SAT问题。因此将SAT归约到吝啬SAT问题，可知吝啬SAT是NP-完全问题。

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8.8 在精确的4SAT（EXACT 4SAT）问题中，输入为一组子句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值–如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP-完全问题。
证明: 显然4SAT问题也可以在多项式时间内验证，因此属于NP问题。
将3SAT归约到精确4SAT，对于一个3SAT实例，将每个子句中多次出现的同一变量缩减为只出现一次，如果同时存在是非的两次可以去掉，再添加一些Dummy Variables，扩充到4个。

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8.9 在碰撞集（HITTING SET）问题中，给定一组集合{S1,S2,...,Sn}和预算b，我们希望求一个所有的Si 相交且规模不超过b的集合H，当然，前提是这样的集合确实存在。换句话说，我们希望对所有的i满足 H∩Si≠ϕ。请证明该问题是NP-完全的。

证明:多项式时间内验证，NP问题。将最小顶点覆盖归约到碰撞集问题，对于一个最小顶点覆盖实例（G，g），将图G中的每条边作为集合{S1,S2,...,Sn}， 例如S1={V1,V2}，S2={V3,V4}，规模不超过b即为目标值g，因此求得的碰撞集，正是图G的最小顶点覆盖。