正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵
来源:互联网 发布:数据挖掘的案例分析 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 08:10
正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵
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1.正定矩阵
2.负定矩阵
3.半正定矩阵
4.半负定矩阵
是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的(或),都有:
正定阵的判别[编辑]
对n×n的埃尔米特矩阵M,下列性质与“M为正定矩阵”等价:
1.矩阵的所有的特征值都是正的。根据谱定理,M必然与一个实对角矩阵D相似(也就是说,其中P是幺正矩阵,或者说M在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵)。因此,M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。2.半双线性形式
定义了一个Cn上的内积。实际上,所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
3.M是n个线性无关的k维向量的Gram矩阵,其中的k为某个正整数。更精确地说,M定义为:换句话说,M具有的形式,其中A不一定是方阵,但需要是单射的。
4.M的所有顺序主子式,也就是顺序主子阵的行列式都是正的(西尔维斯特准则)。明确来说,就是考察下列矩阵的行列式:- 左上角1×1的矩阵
- 左上角2×2矩阵
- ...
- 自身。
对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子:
- .
其中是的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。
对于实对称矩阵,只需将上述性质中的改为,将“共轭转置”改为“转置”就可以了。
相关性质[编辑]
若为半正定阵,可以写作。如果是正定阵,可以写作。这个记法来自泛函分析,其中的正定阵定义了正算子。
对于一般的埃尔米特矩阵,、,当且仅当。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地,可以定义。
1.每个正定阵都是可逆的,它的逆也是正定阵。如果那么。2.如果是正定阵,为正实数,那么也是正定阵。如果、是正定阵,那么和、乘积与都是正定的。如果,那么仍是正定阵。
3.如果那么主对角线上的系数为正实数。于是有。此外还有from:
http://zh.wikipedia.org/wiki/正定矩阵
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